Một bài nguyên hàm phân khó
#1
Đã gửi 21-04-2009 - 18:45
Theo tác giả về nguyên tắc thì tính được tích phân này với 2 trang giấy nhưng giải nó bởi 5 biến đổi dấu bằng với khoảng 3 dòng thì lại là một đẳng cấp khác...Tuy nhiên tác giả không trình bày cách giải đó.
Liệu đây có phải lời nói xuông chỉ để quảng cáo cho kĩ thuật nhảy tầng lầu ?
Đến giờ mình cũng chưa biết lời giải đó.
Lời giải dưới đây tuy khá công phu+cồng kềnh (mình mất khá nhiều thời gian để post và edit ) nhưng nó là lời giải ngắn nhất mà mình biết cho đến thời điểm này
Không biết có ai biết cách giải 3 dòng của tác giả TRẦN PHƯƠNG ko?Nếu bạn biết hãy chia sẻ với diễn đàn nhé
$\int\dfrac{dx}{x^8+1}=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{(x^6+1)-(x^6-1)}{(x^4+1)^2-(2x^2)^2}dx$
$=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{(x^2+1)[(x^4-\sqrt{2}x^2+1)+(\sqrt{2}-1)x^2]}{(x^4+1)^2-(2x^2)^2}dx$
$+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{(x^2-1)[(x^4-\sqrt{2}x^2+1)+(\sqrt{2}+1)x^2]}{(x^4+1)^2-(2x^2)^2}dx$
$=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{x^2+1}{x^4+\sqrt{2}x^2+1}dx+\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\int\dfrac{(x^2+1)x^2}{(x^4-\sqrt{2}x^2+1)(x^4+\sqrt{2}x^2+1)}dx$
$+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{x^2-1}{x^4+\sqrt{2}x^2+1}dx+\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}\int\dfrac{(x^2-1)x^2}{(x^4-\sqrt{2}x^2+1)(x^4+\sqrt{2}x^2+1)}dx$
$=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1+\dfrac{1}{x^2}}{(x-\dfrac{1}{x})^2+2+\sqrt{2}}dx+\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\int\dfrac{1+\dfrac{1}{x^2}}{[(x-\dfrac{1}{x})^2+2-\sqrt{2}][(x-\dfrac{1}{x})^2+2+\sqrt{2}]}dx$
$+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{(x+\dfrac{1}{x})^2-2+\sqrt{2}}dx+\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}\int\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{[(x+\dfrac{1}{x})^2-2-\sqrt{2}][(x-\dfrac{1}{x})^2-2+\sqrt{2}]}dx$
$=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d(x-\dfrac{1}{x})}{(x-\dfrac{1}{x})^2+2+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}-1}{4\sqrt{2}}\int\dfrac{d(x-\dfrac{1}{x})}{(x-\dfrac{1}{x})^2+2-\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}-1}{4\sqrt{2}}\int\dfrac{d(x-\dfrac{1}{x})}{(x-\dfrac{1}{x})^2+2+\sqrt{2}}$
$+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d(x+\dfrac{1}{x})}{(x+\dfrac{1}{x})^2-2+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}+1}{4\sqrt{2}}\int\dfrac{d(x+\dfrac{1}{x})}{(x+\dfrac{1}{x})^2-2-\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}+1}{4\sqrt{2}}\int\dfrac{d(x+\dfrac{1}{x})}{(x+\dfrac{1}{x})^2-2+\sqrt{2}}$
$=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{8}u+\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{8}v
+\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{16}ln|\dfrac{(x+\dfrac{1}{x})-\sqrt{2-\sqrt{2}}}{(x+\dfrac{1}{x})+\sqrt{2-\sqrt{2}}}|
+\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{16}ln|\dfrac{(x+\dfrac{1}{x})-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{(x+\dfrac{1}{x})+\sqrt{2+\sqrt{2}}}|+C$
Với $x-\dfrac{1}{x}=\sqrt{2+\sqrt{2}} tanu =\sqrt{2-\sqrt{2}} tanv $
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.
________________________________________________________
Vu Thanh Tu, University of Engineering & Technology
#2
Đã gửi 25-04-2009 - 12:13
Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.
________________________________________________________
Vu Thanh Tu, University of Engineering & Technology
#3
Đã gửi 03-05-2009 - 01:06
$\int\dfrac{dx}{x^n+a}=\dfrac{1}{2b}[\int\dfrac{u(x)+b}{x^{n}+a}dx-\int\dfrac{u(x)-b}{x^{n}+a}dx]$
#4
Đã gửi 09-07-2009 - 09:22
Trong đó đặt $\int \dfrac{x^{ \alpha }dx}{1+x^{ \alpha } }$ =Q
Tính Q bằng tích phân từng phần $Q=xln(1+x^{ \alpha } ) - \int ln(1+x^{ \alpha } ) dx$
Hì tới đó là hết đi tiếp được rồi chỉ cần tính $\int ln(1+x^{ \alpha } ) dx$ ra là xong . Ai pro có hứng thú với hướng này thì đi tiếp nhé . Tui bí thiệt rồi
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh