Chủ đề này có 22 trả lời

[tuan101293]

a,b,c>1 và a+b+c=9
CMR
$\sqrt{ab+bc+ca}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 07-05-2009 - 12:55

[vuthanhtu_hd]

a,b,c>0 và a+b+c=9
CMR
$\sqrt{ab+bc+ca}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Trông đẹp và giống bài RussiaMO 2000 nhỉ
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3
CMR
$ab+bc+ca\le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

[nguyen_ct]

mình nghĩ bài này có thể dồn biến được đấy

--------------------------------------------------
cậu làm ơn gõ có dấu giùm mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mai quoc thang: 06-05-2009 - 23:10

[Toanlc_gift]

minh` nghi~ bai` nay` co' the? don` bien' duoc. day'

Có thể xài S.O.S;)

[lucbinh]

a,b,c>0 và a+b+c=9
CMR
$\sqrt{ab+bc+ca}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Đặt $a= x^{2}, b= y^{2}, c= z^{2} \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2} \leq (x+y+z)^{2}$

Nên nếu gọi A(x; y; z) thuộc mặt cầu S tâm O, bán kính R = 3 thì có thể cm bằng hình học chăng?

[toanhocmuonmau]

a,b,c>0 và a+b+c=9
CMR
$\sqrt{ab+bc+ca}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Try $a=b\rightarrow \dfrac{9}{2},c\rightarrow 0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 07-05-2009 - 12:56

[vuthanhtu_hd]

Try $a=b\rightarrow \dfrac{9}{2},c\rightarrow 0$.

Theo phản ví dụ thì BDT của Tuan sai rồi

[tuan101293]

Em đánh nhầm cái điều kiện:D

[nguyen_ct]

bài này dấu "=" xảy ra khi a=b=c=3 và a=b=4;c=1 nếu điều kiện a,b,c>0 cũng vẫn đúng mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 07-05-2009 - 17:22

[vuthanhtu_hd]

bài này dấu "=" xảy ra khi a=b=c=3 và a=b=4;c=1 nếu điều kiện a,b,c>0 cũng vẫn đúng mà

Nếu a,b,c>o thì đúng sao được ,em ko thấy phản thí dụ ở trên à,thay vào mà xem

[Toanlc_gift]

bài này dấu "=" xảy ra khi a=b=c=3 và a=b=4;c=1 nếu điều kiện a,b,c>0 cũng vẫn đúng mà

Đẳng thức không xảy ra khi $a=b=4;c=1$

[nguyen_ct]

Đẳng thức không xảy ra khi $a=b=4;c=1$

uhm tui thay nham`
bai` nay` phai co' dk a,b,c>1 moi' giai quyet' duoc. (hum qua em nham`)

----------------------------------------------------
một lần nữa nhắc cậu gõ có dấu giùm mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mai quoc thang: 08-05-2009 - 14:37

[Toanlc_gift]

hem bik lời giải này có quá dài hok nhể???
giả sử $a \ge b \ge c$thì $a \ge 3 \ge c$kết hợp với $a;b;c>1$ thì $b \le 9-3-1=5$
bđt tương đương với:
$ab + bc + ca \le 9 + 2\sum {\sqrt {ab} } \Leftrightarrow 63 \le \sum {{a^2}} + 4\sum {\sqrt {ab} }$
đưa về S.O.S:
$\Leftrightarrow \sum {\left( {a + b + 2\sqrt {ab} - 6} \right){{(\sqrt a - \sqrt b )}^2}} \ge 0 \Leftrightarrow \sum {(3 - c + 2\sqrt {ab} } ){(\sqrt a - \sqrt b )^2} \ge 0 \Leftrightarrow \sum {(3 - {z^2} + 2xy){{(x - y)}^2} \ge 0}$
với $x^2=a;y^2=b;z^2=c$
${S_z} > 0;{S_y} > 0;{S_y} + {S_x} = {z^2} + 2zx + 2yz - 3 > 1 + 2 + 2 - 3 > 0$
Vậy $S \ge 0$
đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 08-05-2009 - 17:05

[Toanlc_gift]

Anh Cẩn đã chứng minh bài này ở đây =>> http://www.mathlinks...1491803#1491803

[vuthanhtu_hd]

Anh Cẩn đã chứng minh bài này ở đây =>> http://www.mathlinks...1491803#1491803

Hẳn nào anh cứ thấy bài này quen quen nhìn thấy ở đâu rồi đó,hóa ra trên mathlinks

[nguyen_ct]

bài giải của mình như sau (mong các bạn góp ý thêm)
trước hết ta dễ dàng CM được
$f(a,b,c) \ge f(t,t,c);(t = \dfrac{{a + b}}{2})$
sau đó xets trường hợp$ a=b$
-->$2a+c=9$
$2\sqrt a + \sqrt c \ge \sqrt {a^2 + 2ac} $
bình phương sao cho hêt căn thức ta được 1 đa thức bậc 4;$y=9a^4-96a^3+324a^2-432a+81$
có đạo hàm là $y'=36(a-4)(a-3)(a-1)$ $0$(vì $4 > a \ge 3$)
từ đó ta có đpcm

[tuan101293]

bài giải của mình như sau (mong các bạn góp ý thêm)
trước hết ta dễ dàng CM được
$f(a,b,c) \ge f(t,t,c);(t = \dfrac{{a + b}}{2})$
sau đó xets trường hợp$ a=b$
-->$2a+c=9$
$2\sqrt a + \sqrt c \ge \sqrt {a^2 + 2ac} $
bình phương sao cho hêt căn thức ta được 1 đa thức bậc 4;$y=9a^4-96a^3+324a^2-432a+81$
có đạo hàm là $y'=36(a-4)(a-3)(a-1)$ $0$(vì $4 > a \ge 3$)
từ đó ta có đpcm

Bạn có thể chỉ cho mình cái đoạn dễ dàng cm được ko>?
nếu có thể mong bạn viết thành biểu thức cho mình.

[Toanlc_gift]

Bạn có thể chỉ cho mình cái đoạn dễ dàng cm được ko>?
nếu có thể mong bạn viết thành biểu thức cho mình.

Chỗ đóa hình như hem đúng roài,chả cóa thời gian mà check nữa

[nguyen_ct]

ta co' ;giả sử :$a$ $b$ $c$
$f(a,b,c)=9-2( sqrt{ab}+ sqrt{bc}+ sqrt{ca})-(ab+bc+ca)$
$f(t,t,c)=9-a+b+ sqrt{c} sqrt{2(a+b)} -(a+b)^2/4-c(a+b)$
$f(a,b,c)-f(t,t,c)=( sqrt{a} - sqrt{b} )^2( (sqrt{a}+ sqrt{b})^3-4( sqrt{a} + sqrt{b})-4 sqrt{c})$(và một cái mấu số>0 mình kok có mathtype nên kok viết được )
mặt khác $a+b$ $6$ -->$f(a,b,c)-f(t,t,c)$ $ (sqrt{a} - sqrt{b})^2 )(6( sqrt{a} + sqrt{b})-4( sqrt{a}+ sqrt{b})-4 sqrt{c} $ $0$
các bạn xem lại xem đúng chưa thanks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen_ct: 13-05-2009 - 19:32

[tuan101293]

f(t,t,c) bạn đánh sai rồi(cái dòng thứ 3 ý)