Chủ đề này có 2 trả lời

[ncc_3tc]

Tìm min:
$ \dfrac{a_{1}}{a_{2}+a_{3}+...+a_{x}} + \dfrac{2a_{2}}{a_{1}+a_{3}+...a_{x}} +...+ \dfrac{xa_{x}}{a_{1}+a_{2}+...+a_{x-1}}$
Với $ a_{1}, a_{2},...,a_{x}$ là các số thực dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 24-01-2013 - 20:20

[tathanhlien98]

mình vẫn chưa hiểu quy luật của cái đề bài

[Viet Hoang 99]

Tìm min:
$ \dfrac{a_{1}}{a_{2}+a_{3}+...+a_{x}} + \dfrac{2a_{2}}{a_{1}+a_{3}+...a_{x}} +...+ \dfrac{xa_{x}}{a_{1}+a_{2}+...+a_{x-1}}$
Với $ a_{1}, a_{2},...,a_{x}$ là các số thực dương

Ta có: $\begin{align}
  & P=\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{x}}}+\frac{2{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{x}}}+...+\frac{x{{a}_{x}}}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{x-1}}} \\
 & =\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{x}}}+1+\frac{2{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{x}}}+2+...+\frac{x{{a}_{x}}}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{x-1}}}+x-(1+2+...+x) \\
 & =\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{x}}}{{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{x}}}+\frac{2({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{x}})}{{{a}_{1}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{x}}}+...+\frac{x({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{x}})}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{x-1}}}-\frac{x(x-1)}{2} \\
 & =({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{x}})\left( \frac{1}{{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{x}}}+\frac{2}{{{a}_{1}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{x}}}+...+\frac{x}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{x-1}}} \right)-\frac{x(x-1)}{2} \\
\end{align}$
Áp dụng BĐT Buniacopxki cho x bộ số $({{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{x}}),({{a}_{1}},{{a}_{3}},...,{{a}_{x}}),...({{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{x-1}})$ là ok