Chủ đề này có 2 trả lời

[lehoan]

Chứng minh rằng tồn tại một tập A vô hạn gồm các số nguyên dương sao cho với mọi tập hữu hạn B là con của A thì tổng tất cả các phần tử của B không có dạng lũy thừa bậc >1 của 1 số tự nhiên

[lehoan]

Nhân đây lehoan post luôn bài toán tổng quát.
Cho dãy số tự nhiên http://dientuvietnam...imetex.cgi?(x_n) tăng thỏa mãn .
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum\limit_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{x_i}<+\infty.
CMR tồn tại tập vô hạn mà ,B hữu hạn thì tổng các phần tử của B khác


Bài toán tổng quát hơn nữa.
Cho tập A gồm các số nguyên dương có mật độ là 0.
CMR tồn tại tập vô hạn mà ,B hữu hạn thì tổng các phần tử của B không thuộc A

Qua đó chắc các bác cũng biết hướng giải

[hoang]

Lời giải cho bài toán với giả thiết tổng các nghịch đảo là hữu hạn

Ta xây dựng theo quy nạp tập A. Giả sử đã xây dựng được n số

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{a_1;a_2;...;a_n\}

sao cho tổng một số số bất kì trong n số này không thuộc dãy đã cho . Nếu ra

không thể thêm vào tập A một số nào nữa sao cho tổng các các số nào trong một

tập con bất kì của nó đều không thuộc dãy

Như vậy ta luôn có với mỗi số nguyên dương k lớn hơn các số của tập A hiện thời

thì một trong các số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{k+a_1;...;k+a_1+...+a_n\}

thuộc dãy như vậy trong mọi khoảng

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_i


Dễ thấy khi đó tổng nghịch đảo của các số http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_i không bị chặn