Chủ đề này có 2 trả lời

[abstract]

Có ai có tài liệu về đường thẳng droz-farny và mở rộng cho em biết với (ĐẶC BIỆT LÀ MỞ RỘNG)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 01-12-2009 - 21:34

[Pirates]

Có ai có tài liệu về đường thẳng droz-farny và mở rộng cho em biết với (ĐẶC BIỆT LÀ MỞ RỘNG)

Định lí: Cho hai đường thẳng bất kì vuông góc với nhau tại trực tâm của tam giác $ABC$. Chúng tương ứng cắt các cạnh $BC, AC, AB$ tại $X, X'; Y, Y'; Z, Z'$. Khi đó ta có $M_a, M_b, M_c$ tương ứng là các trung điểm của $XX', YY', ZZ'$ thẳng hàng.

Chứng minh: Đặt $C$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. $C_a$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $HXX'$ và $H_a$ là điểm đối xứng với $H$ qua $BC$. Tương tự với các đường tròn khác.
$\Rightarrow C_a, C_b, C_c$ có tâm lần lượt là $M_a, M_b, M_c. XX'$ là đường kính của đường tròn $C_a, H_a$ nằm trên đường tròn này $\Rightarrow H_a$ là giao của $C$ và $C_a$ và $HH_a \perp BC$.
Áp dụng định lí Collings với đường thằng $XYZ$ đi qua $H$, ta có $H_aX, H_bY, H_cZ$ đồng quy tại $N$ trên $C$. Áp dụng định lí Miquel cho tam giác $XNY$ với các điểm $H_a, H_b, H \Rightarrow C_a, C_b, C$ cùng đi qua $M$. Tương tự $C_c$ cũng đi qua $M$. Vậy $C_a, C_b, C_c$ cùng đi qua $H, M$ (đồng trục) nên tâm của chúng thẳng hàng.

Mở rộng đường tròn Droz-Farny:
Định lí: Cho điểm $P$ bất kì và tam giác $ABC$. Điểm $Q$ là điểm đẳng giác với $P$ đối với tam giác $ABC$. Chân các đường vuông góc với các cạnh $BC, AC, AB$ của $P$ là $P_a, P_b, P_c$. Lấy $P_a$ làm tâm đường tròn đi qua $Q$ cắt $BC$ tại $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ địng nghĩa tương tự. Khi đó $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ cùng thuộc đường tròn tâm $P$.

[abstract]

Định lí: Cho hai đường thẳng bất kì vuông góc với nhau tại trực tâm của tam giác $ABC$. Chúng tương ứng cắt các cạnh $BC, AC, AB$ tại $X, X'; Y, Y'; Z, Z'$. Khi đó ta có $M_a, M_b, M_c$ tương ứng là các trung điểm của $XX', YY', ZZ'$ thẳng hàng.

Chứng minh: Đặt $C$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. $C_a$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $HXX'$ và $H_a$ là điểm đối xứng với $H$ qua $BC$. Tương tự với các đường tròn khác.
$\Rightarrow C_a, C_b, C_c$ có tâm lần lượt là $M_a, M_b, M_c. XX'$ là đường kính của đường tròn $C_a, H_a$ nằm trên đường tròn này $\Rightarrow H_a$ là giao của $C$ và $C_a$ và $HH_a \perp BC$.
Áp dụng định lí Collings với đường thằng $XYZ$ đi qua $H$, ta có $H_aX, H_bY, H_cZ$ đồng quy tại $N$ trên $C$. Áp dụng định lí Miquel cho tam giác $XNY$ với các điểm $H_a, H_b, H \Rightarrow C_a, C_b, C$ cùng đi qua $M$. Tương tự $C_c$ cũng đi qua $M$. Vậy $C_a, C_b, C_c$ cùng đi qua $H, M$ (đồng trục) nên tâm của chúng thẳng hàng.

Mở rộng đường tròn Droz-Farny:
Định lí: Cho điểm $P$ bất kì và tam giác $ABC$. Điểm $Q$ là điểm đẳng giác với $P$ đối với tam giác $ABC$. Chân các đường vuông góc với các cạnh $BC, AC, AB$ của $P$ là $P_a, P_b, P_c$. Lấy $P_a$ làm tâm đường tròn đi qua $Q$ cắt $BC$ tại $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ địng nghĩa tương tự. Khi đó $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ cùng thuộc đường tròn tâm $P$.

Có ai có gì về ứng dụng của D-F line ko? Em dang làm về cái này mà khó quá, hầu như ko có tài liệu đáng kể