Chứng minh rằng phân số $\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$ tối giản với mọi số tự nhiên n khác 0
Bạn nào có cách giải hay thì chia sẻ với mọi người nhé!
Phân số tối giản?
Bắt đầu bởi Đỗ Quang Duy, 01-01-2010 - 13:17
#2
Đã gửi 01-01-2010 - 13:39
nguyen thai phuc
-
- Thành viên
-
- 430 Bài viết
Sĩ quan
Sorry bạn Duy, mình tưởng là 3n^3.
Nếu đề là thế này thì bài này cực dễ:
Đầu tiên, xét UCLN của cả tử và mẫu là k. Đầu tiên, ta đi c/m n và k nguyên tố cùng nhau.
Thật vậy, xét UCLN của n&k là a.
$\ n^4 + 3n^2 + 1 \vdots k \Rightarrow n^2 (n^2 + 3) + 1 \vdots a \Rightarrow 1 \vdots a \Rightarrow a = 1\$
Vậy n và k nguyên tố cùng nhau , mà $\ n^3 + 2n \vdots k \Rightarrow n^2 + 2 \vdots k\$
Vậy$\ n^4 + 3n^2 + 1 = \left( {n^2 + 2} \right)\left( {n^2 + 1} \right) - 1 \vdots k \Rightarrow - 1 \vdots k \Rightarrow k = 1\$
=> p/s kia tối giản
=>Q.E.D(hình như đây là dpcm trong tiếng anh
)
Nếu đề là thế này thì bài này cực dễ:
Đầu tiên, xét UCLN của cả tử và mẫu là k. Đầu tiên, ta đi c/m n và k nguyên tố cùng nhau.
Thật vậy, xét UCLN của n&k là a.
$\ n^4 + 3n^2 + 1 \vdots k \Rightarrow n^2 (n^2 + 3) + 1 \vdots a \Rightarrow 1 \vdots a \Rightarrow a = 1\$
Vậy n và k nguyên tố cùng nhau , mà $\ n^3 + 2n \vdots k \Rightarrow n^2 + 2 \vdots k\$
Vậy$\ n^4 + 3n^2 + 1 = \left( {n^2 + 2} \right)\left( {n^2 + 1} \right) - 1 \vdots k \Rightarrow - 1 \vdots k \Rightarrow k = 1\$
=> p/s kia tối giản
=>Q.E.D(hình như đây là dpcm trong tiếng anh
)
#3
Đã gửi 01-01-2010 - 16:34
Pirates
-
- Thành viên
-
- 642 Bài viết
Mathematics...
Ta có:Chứng minh rằng phân số $\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$ tối giản với mọi số tự nhiên n khác 0
Bạn nào có cách giải hay thì chia sẻ với mọi người nhé!
$n^{4} + 3n^{2} + 1 = (n^{3} + 2n).n + n^{2} + 1$
$n^{3} + 2n = (n^{2} + 1).n + n$
$n^{2} + 1 = n.n + 1$
$n = 1.n$
Vậy $(n^{4} + 3n^{2} + 1 , n^{3} + 2n) = 1$ (đpcm)
"God made the integers, all else is the work of men"
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
