1. Cho $n$ là số nguyên, chứng minh $A = n^3 + 11n$ chia hết cho 6.
2. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $B = n^4 - 3n^2 + 1$ là số nguyên tố.
Bài 2: (2 điểm)
Cho phương trình: $(m^2 + 2m + 2)x^2 - (m^2 - 2m + 2)x - 1 = 0$.
Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho.
1. Tìm các giá trị của m để $x_1^2 + x_2^2 = 2x_1x_2(2x_1x_2 - 1)$.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $S = x_1 + x_2$.
Bài 3: (2 điểm)
1. Cho $a$ bất kì, chứng minh rằng $\dfrac{a^{2010} + 2010}{\sqrt{a^{2010} + 2009}} > 2$.
2. Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn phương trình:
$y^2 - (x - 2)(x^2 - 2x + 2)x = 0$.
Bài 4: (3 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm E,F.
1. Chứng minh rằng giao điểm I của đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
2. Cho A là một điểm bất kỳ thuộc cung EF chứa điểm M của đường tròn đường kính OM (A khác E và F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng minh $OA.OB = R^2$.
3. Cho biết $OM = 2R$ và N là điểm bất kỳ thuộc cung EF chứa điểm I của đường tròn (O;R) (N khác E và F). Gọi d là đường thẳng qua F và vuông góc với đường thẳng EN tại điểm P, d cắt đường tròn đường kính OM tại điểm K (K khác F). Hai đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: $PN.PK + QN.QK \leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}R^2$.
Bài 5: (1 điểm)
Giải phương trình: $x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1 = 0$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Nam: 09-05-2011 - 18:03