Chủ đề này có 12 trả lời

[caodattoanvip]

Cho $x,y,z > 0$ sao cho $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

a) $E = \dfrac{{x^3 }}{{x + 2y + 3z}} + \dfrac{{y^3 }}{{y + 2z + 3x}} + \dfrac{{z^3 }}{{z + 2x + 3y}}$



b) $F = \dfrac{x}{{y^2 + z^2 }} + \dfrac{y}{{z^2 + x^2 }}\dfrac{z}{{x^2 + y^2 }}$

[zxcvb]

Cho $x,y,z > 0$ sao cho $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

a) $E = \dfrac{{x^3 }}{{x + 2y + 3z}} + \dfrac{{y^3 }}{{y + 2z + 3x}} + \dfrac{{z^3 }}{{z + 2x + 3y}}$
b) $F = \dfrac{x}{{y^2 + z^2 }} + \dfrac{y}{{z^2 + x^2 }}+\dfrac{z}{{x^2 + y^2 }}$

$ 1)E = \dfrac{{x^3 }}{{x + 2y + 3z}} + \dfrac{{y^3 }}{{y + 2z + 3x}} + \dfrac{{z^3 }}{{z + 2x + 3y}}$
$Svac = > E \ge \dfrac{{(x^2 + y^2 + z^2 )^2 }}{{x^2 + y^2 + z^2 + 5(xy + yz + zx)}} \ge \dfrac{1}{6}$
$2)F = \dfrac{x}{{y^2 + z^2 }} + \dfrac{y}{{z^2 + x^2 }} + \dfrac{z}{{x^2 + y^2 }} \ge \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}$
$\dfrac{x}{{1 - x^2 }} \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}x^2 ....(it;true)$

[hp9570]

Cho $x,y,z > 0$ sao cho $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
b) $F = \dfrac{x}{y^2 + z^2 } + \dfrac{y}{z^2 + x^2 }+\dfrac{z}{x^2 + y^2 }$

Vì $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ nên $F = \dfrac{x}{1-x^2} + \dfrac{y}{1-y^2 }+\dfrac{z}{1-z^2 }$
Ta sẽ c/m $ \dfrac{x}{1-x^2} \geq \dfrac{3\sqrt3}{2}x^2$ (1)
Thật vậy, (1) 1 $\geq \dfrac{3\sqrt3}{2}X(1-x^2) $
$1+\dfrac{3\sqrt3}{2}x^3 \geq \dfrac{3\sqrt3}{2}x$
Đây là bđt AM-GM cho 3 số $\dfrac{1}{2} $,$ \dfrac{1}{2} $và$ \dfrac{3\sqrt3}{2}x^3$
Vậy từ đó tìm được minF = $\dfrac{3\sqrt3}{2}$
(Sửa lại hộ mình dòng bị hỏng nha.)
bài này hình như là đề thi HSG lớp 9

[hp9570]

Uh đúng rồi.Mình không sao gõ được

[dark templar]

Cách giải của bạn hp9570 ko được tự nhiên lắm!Nó mang tính học thuộc nhiều hơn!
Xem đây:
VT= tổng đối xứng của x/(y^2 +z^2)=tổng đối xứng của x/(1-x^2)=tổng đối xứng của (sqrt2.x^2)/(sqrt(2x^2.(1-x^2)^2))
Áp dụng AM-GM cho 3 số 2x^2 ,1-x^2,1-x^2,ta đc:2x^2.(1-x^2)^2<=(1+1)^3 /27.TT cho 2 mẫu số kia =>VT>=3(x^2 +y^2 +z^2)/2=3/2
Cách giải này tự nhiên hơn do ta nghĩ dấu "="xảy ra khi x=y=z=1/sqrt3 nên ta sẽ nghĩ đến việc cân bằng hệ số dưới mẫu để AM-GM.Rõ ràng để AM-GM sao cho dưới mẫu còn lại những hằng số thì ta phải nhân cả tử và mẫu cho 2x^2 nhưng AM-GM lúc này sẽ còn 1 hạng tử -x^2 ko bít rút gọn làm sao!Nên ta phải AM-GM cho 3 số như trên dể 1+x^2 +1+x^2+(-2x^2)=2=const

[novae]

cách giải của hp9750 sao bạn bảo mang tính học thuộc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi novae: 07-09-2010 - 22:00

[dark templar]

Bởi mình nghĩ việc đánh giá từng phần chứa biến rùi cộng lại để ra đpcm thì mình phải làm qua rùi thì mới bít đc chứ!

[PTH_Thái Hà]

Bởi mình nghĩ việc đánh giá từng phần chứa biến rùi cộng lại để ra đpcm thì mình phải làm qua rùi thì mới bít đc chứ!

Để tìm được VP của BĐT (1) ta có 1 phương pháp mà ko cần làm qua, thầy dạy mình gọi đó là PP dùng tiếp tuyến
PP đó ứng dụng nhiều đấy, mình nghĩ bạn bằng tuổi mình thì cũng biết chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PTH_Thái Hà: 07-09-2010 - 22:26

[dark templar]

Để tìm được VP của BĐT (1) ta có 1 phương pháp mà ko cần làm qua, thầy dạy mình gọi đó là PP dùng tiếp tuyến
PP đó ứng dụng nhiều đấy, mình nghĩ bạn bằng tuổi mình thì cũng biết chứ

tiện đây mình muốn hỏi là làm sao để bít ai cảm ơn mình và cách gõ CT=latex

[novae]

1) ấn vào dấu * ở chỗ "được cảm ơn: 1*"
2) bạn kéo lên đầu trang, thấy dòng chữ Cách gõ TEX nhanh trong diễn đàn, bấm vào đó và nghiên cứu thật kĩ cách gõ Latex

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi novae: 07-09-2010 - 22:44

[dark templar]

Cảm ơn bạn nhìu!