Chủ đề này có 6 trả lời

[dark templar]

Cho tam giác ABC bất kỳ
$CMR:\dfrac{3\sqrt{3}}{2cos\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}} + 8.sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2} \geq 5 $
P/s: Bạn nào có ý tưởng gì thì cứ nêu ra ,đừng ngại!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 24-09-2010 - 21:48

[h.vuong_pdl]

Ý tưởng của mình như thếa này: (nhưng chưa thử nên không biết có đúng không ???)
ta sẽ cố gắng bình phương sao cho xuất hiện : $2sin^2(\dfrac{A}{2}) = 1 - cosA = 2 - 2cos^2(\dfrac{A}{2})$
lại chú ý rắng: $cosA = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ => chuyển về BDT đại số => giải ????

p/s: mình sẽ thử đi theo hướng này => mọi người cùng thử xem nha ???

[NightBaron]

Cho tam giác ABC bất kỳ
$CMR:\dfrac{3\sqrt{3}}{2cos\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}} + 8.sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2} \geq 5 $
P/s: Bạn nào có ý tưởng gì thì cứ nêu ra ,đừng ngại!

Hồi trước mình cũng giải được rồi nhưng cách đấy ko hay nên ko muốn post!

Và đây là lời giải:

Ta giả sử: $A\le C\le B\Rightarrow A\le 60^o$.

Dùng công thức góc nhân đôi và để ý tới đẳng thức quen thuoc sau: $\sum sinA=4\Pi cos\dfrac{A}{2}$.

Viết BDT dưới dạng tương đương sau:

$5(sinA+sinB+sinC)-4sinA.sinB.sinC\le 6\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow 5sinA+5(sinB+sinC)-4sinA.(sinBsinC)\le 6\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow 5sinA+10sin\dfrac{(B+C)}{2}cos\dfrac{(B-C)}{2}-2sinA[cos{(B-C)}-cos{(B+C)}]$

$ \le 6\sqrt{3} (1)$

Đặt $f=VT (1)$. Ta viết $f$ dưới dạng sau:

$f(t)=-2sin2A+7sinA-4sinA.t^2+10cos\dfrac{A}{2}.t$ $(t=cos\dfrac{B-C}{2}\Rightarrow t\in(0;1])$

$\Rightarrow f'(t)=2cos\dfrac{A}{2}(5-8t.sin\dfrac{A}{2})$

$\Rightarrow f'(t)=0\Leftrightarrow t_o=\dfrac{5}{8sin\dfrac{A}{2}}\ge \dfrac{5}{4}>1$

Do đó sau khi lập BBT ta thấy: $f(t)\le f(1)=-sin2A+3sinA+10cos\dfrac{A}{2}$

Lại có:

$f(1)=sinA(3-2cosA)+10cos\dfrac{A}{2}=2sin\dfrac{A}{2}.a(-4a^2+5)+10a=g(a);\\ (a=cos\dfrac{A}{2}\Rightarrow a\ge \dfrac{\sqrt{3}}{2})$

Vi : $sin\dfrac{A}{2}\le \dfrac{1}{2}; 5-4a^2>0$. Suy ra:

$g(a)\le 2.\dfrac{1}{2}.a(5-4a^2)+10a=-4a^3+15a$

Dễ dàng kiểm tra được:

$-4a^3+15a\le 6\sqrt{3}$

$\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 26-09-2010 - 00:07

[dark templar]

Mình thấy cách này khá "trâu" và ko thuần mang tính hình học +lượng giác ,nhưng cũng cảm ơn bạn NightBaron đã đóng góp ý kiến.
P/s:Mình đang tìm 1 cách giải mang tình hình học và lượng giác bởi đạo hàm là pp sau cùng mà mình sử dụng đối với các bài BĐT lượng giác như thế này.

[NightBaron]

Mình thấy cách này khá "trâu" và ko thuần mang tính hình học +lượng giác ,nhưng cũng cảm ơn bạn NightBaron đã đóng góp ý kiến.
P/s:Mình đang tìm 1 cách giải mang tình hình học và lượng giác bởi đạo hàm là pp sau cùng mà mình sử dụng đối với các bài BĐT lượng giác như thế này.

Rất tiếc mình đã bỏ BDT rùi và đang vất vả với những môn học khác cùng với phải luyện tập để đi thi TST của tỉnh không bị điểm liệt. Nhưng nếu có thời gian mình sẽ nghĩ 1 cách hay nhất tặng bạn vì BDT là 1 sở trường của mình!

[Nguyễn Hoàng Nam]

Em đồng ý với ý kiến của anh dark_templar, bất đẳng thức này có thể nhiều người cho là ra chỉ nhằm mục đích đánh đố học sinh, học sinh ít có hi vọng kiếm điểm nếu có bất đẳng thức như thế này

[NightBaron]

Cho tam giác ABC bất kỳ
$CMR:\dfrac{3\sqrt{3}}{2cos\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}} + 8.sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2} \geq 5 $
P/s: Bạn nào có ý tưởng gì thì cứ nêu ra ,đừng ngại!

Bài này 1 bài trên THTT, số 357, tháng 3 năm 2007.

Anh em nào có thì post lời giải lên hộ! Chắc chẳng có cách nào hay hơn lời giải trên báo dau!

Tìm mỏi mắt, thanks mình mấy cái cho vui!