31 replies to this topic

[đat]

Cho ${a_1},{a_2},...,{a_n} > 0 \\ $ và ${a_1} + {a_2} + .... + {a_n} < 1 \\ $. CMR:

$\dfrac{{{a_1}{a_2}...{a_n}\left[ {1 - \left( {{a_1} + {a_2} + .... + {a_n}} \right)} \right]}}{{\left( {{a_1} + {a_2} + .... + {a_n}} \right)\left( {1 - {a_1}} \right)\left( {1 - {a_2}} \right)...\left( {1 - {a_n}} \right)}} \le \dfrac{1}{{{n^{n + 1}}}}$
(IMO Shortlist, 1998)

[h.vuong_pdl]

Cho ${a_1},{a_2},...,{a_n} > 0 \\ $ và ${a_1} + {a_2} + .... + {a_n} < 1 \\ $. CMR:

$\dfrac{{{a_1}{a_2}...{a_n}\left[ {1 - \left( {{a_1} + {a_2} + .... + {a_n}} \right)} \right]}}{{\left( {{a_1} + {a_2} + .... + {a_n}} \right)\left( {1 - {a_1}} \right)\left( {1 - {a_2}} \right)...\left( {1 - {a_n}} \right)}} \le \dfrac{1}{{{n^{n + 1}}}}$
(IMO Shortlist, 1998)

p/s: gõ bằng latex đi bạn ! gõ tex máy mình ko đọc được!

[NguyThang khtn]

go latex:

[latex] cong thuc toan[/latex]

[đat]

Gõ latex cũng xài được Mathtype hả ?
Mình xài Mathtype cho nhanh ấy mà.

[đat]

1 hôm bận ko lên. may mà chưa có ai giải mất bài này.
Ta có:
$VT = \dfrac{{\sum {\left[ {{a^\alpha }\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \right]} }}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge \dfrac{{2\sum {\left[ {{a^{\alpha + 1}}\left( {b + c} \right)} \right]} }}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\left( {Schur} \right)\$
$ = 2\sum {\dfrac{{{a^{\alpha + 1}}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}} $
Ta sẽ chứng minh $\[n \in N*\]\$ thì
$2\sum {\dfrac{{{a^{n + 2}}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}} \ge \dfrac{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}{2}\$
Áp dụng bđt Cauchy và phương pháp quy nạp ta CM được bđt trên
Vậy ta có đpcm.
Mình chỉ chứng minh đc với số mũ nguyên dương thôi chứ với số mũ hữu tỷ thì mình chịu, mới học lớp 9 mà
Mình ko gõ được latex. Gõ nó ko ra. Mong bạn thông cảm

Edited by đat, 14-11-2010 - 16:55.

[đat]

Nếu thấy bài IMO Shortlist, 1998 khó quá thì các các bạn có thể làm bài này:

Cho $m,n \in N*,{a_1},{a_2},...,{a_n} > 0$
CMR:

$a_1^m + a_2^m + ... + a_n^m \ge \sum {\left( {a_1^{m - 1}\sqrt[{n - 1}]{{{a_2}{a_3}...{a_n}}}} \right)} $
Bài này do mình chế, cũng tạm được.

Edited by đat, 14-11-2010 - 17:08.

[dark templar]

1 hôm bận ko lên. may mà chưa có ai giải mất bài này.
Ta có:
$VT = \dfrac{{\sum {\left[ {{a^\alpha }\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \right]} }}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge \dfrac{{2\sum {\left[ {{a^{\alpha + 1}}\left( {b + c} \right)} \right]} }}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\left( {Schur} \right)\$
$ = 2\sum {\dfrac{{{a^{\alpha + 1}}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}} $
Ta sẽ chứng minh $\[n \in N*\]\$ thì
$2\sum {\dfrac{{{a^{n + 2}}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}} \ge \dfrac{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}{2}\$
Áp dụng bđt Cauchy và phương pháp quy nạp ta CM được bđt trên
Vậy ta có đpcm.
Mình chỉ chứng minh đc với số mũ nguyên dương thôi chứ với số mũ hữu tỷ thì mình chịu, mới học lớp 9 mà
Mình ko gõ được latex. Gõ nó ko ra. Mong bạn thông cảm

Gợi ý nhé:sử dụng BDT Cauchy-Schwaz+Becnoulli hoặc sử dụng BDT Trê-Bư-sép

[NguyThang khtn]

1 hôm bận ko lên. may mà chưa có ai giải mất bài này.
Ta có:
$VT = \dfrac{{\sum {\left[ {{a^\alpha }\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \right]} }}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge \dfrac{{2\sum {\left[ {{a^{\alpha + 1}}\left( {b + c} \right)} \right]} }}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\left( {Schur} \right)\$
$ = 2\sum {\dfrac{{{a^{\alpha + 1}}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}} $
Ta sẽ chứng minh $\[n \in N*\]\$ thì
$2\sum {\dfrac{{{a^{n + 2}}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}} \ge \dfrac{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}{2}\$
Áp dụng bđt Cauchy và phương pháp quy nạp ta CM được bđt trên
Vậy ta có đpcm.
Mình chỉ chứng minh đc với số mũ nguyên dương thôi chứ với số mũ hữu tỷ thì mình chịu, mới học lớp 9 mà
Mình ko gõ được latex. Gõ nó ko ra. Mong bạn thông cảm

go latex:

[latex] cong thuc toan[/latex]

nho la ko fai la:

[latex]\cong thuc toan [/latex]

chu ko fai la:

[latex]:cong thuc toan [/latex]

[đat]

Mình viết lại bài giải bằng latex nha :

$VT = \dfrac{{\sum {\left[ {{a^\alpha }\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \right]} }}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge 2\sum {\dfrac{{{a^{\alpha + 1}}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}} (Schur)$

Nếu $\alpha = 1$ thì bất đẳng thức ban đầu là bđt Nesbitt.
Nếu$\alpha \ge 2$

$\dfrac{{8{a^3}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} + \left( {a + b} \right) + \left( {a + c} \right) \ge 6a$
$\Rightarrow \dfrac{{8{a^{\alpha + 1}}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} \ge 4{a^{\alpha - 1}} - {a^{\alpha - 2}}b - {a^{\alpha - 2}}c \Rightarrow 8\sum {\dfrac{{{a^{\alpha + 1}}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}} \ge 4\left( {{a^{\alpha - 1}} + {b^{\alpha - 1}} + {c^{\alpha - 1}}} \right) - \sum\limits_{sym} {{a^{\alpha - 2}}b} $
Ta chỉ cần cm $2\left( {{a^{\alpha - 1}} + {b^{\alpha - 1}} + {c^{\alpha - 1}}} \right) \ge \sum\limits_{sym} {{a^{\alpha - 2}}b} $
Bđt này không khó bạn tự cm tiếp.

Edited by đat, 15-11-2010 - 19:55.

[dark templar]

Mình viết lại bài giải bằng latex nha :

$VT = \dfrac{{\sum {\left[ {{a^\alpha }\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \right]} }}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge 2\sum {\dfrac{{{a^{\alpha + 1}}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}} (Schur)$

Nếu $\alpha = 1$ thì bất đẳng thức ban đầu là bđt Nesbitt.
Nếu$\alpha \ge 2$

$\dfrac{{8{a^3}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} + \left( {a + b} \right) + \left( {a + c} \right) \ge 6a$
$\Rightarrow \dfrac{{8{a^{\alpha + 1}}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} \ge 4{a^{\alpha - 1}} - {a^{\alpha - 2}}b - {a^{\alpha - 2}}c (1)\Rightarrow 8\sum {\dfrac{{{a^{\alpha + 1}}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}} \ge 4\left( {{a^{\alpha - 1}} + {b^{\alpha - 1}} + {c^{\alpha - 1}}} \right) - \sum\limits_{sym} {{a^{\alpha - 2}}b} $
Ta chỉ cần cm $2\left( {{a^{\alpha - 1}} + {b^{\alpha - 1}} + {c^{\alpha - 1}}} \right) \ge \sum\limits_{sym} {{a^{\alpha - 2}}b} $
Bđt này không khó bạn tự cm tiếp.

Bước (1) là sai rồi ! sử dụng BĐT AM-GM cho (1) thì chỉ ra $6a^{\dfrac{ \alpha +1}{3}}- (2a+b+c)$ chứ đâu
có ra $4a^{ \alpha -1}-a^{ \alpha -2}b-a^{ \alpha-2}c$!!!!!!
P/s:bạn xét th thiếu rồi kìa !còn th $1< \alpha <2$ thì sao??????

Edited by dark templar, 16-11-2010 - 19:55.

[đat]

Bước (1) là sai rồi ! sử dụng BĐT AM-GM cho (1) thì chỉ ra $6a^{\dfrac{ \alpha +1}{3}}- (2a+b+c)$ chứ đâu
có ra $4a^{ \alpha -1}-a^{ \alpha -2}b-a^{ \alpha-2}c$!!!!!!
P/s:bạn xét th thiếu rồi kìa !còn th $1< \alpha <2$ thì sao??????

Mình áp dụng AM-GM với 3 số $\dfrac{{8{a^3}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}};a + b;a + c$
Sau đó nhân 2 vế với ${a^{\alpha - 2}}$
Đúng mà
Còn nữa, như đã nói ở trên mình chưa biết nhiều về dạng toán có số mũ ko nguyên nên chỉ có thể cm bđt này với số mũ nguyên dương.
Bạn post lời giải cho mọi người xem đi.

[dark templar]

Mình áp dụng AM-GM với 3 số $\dfrac{{8{a^3}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}};a + b;a + c$
Sau đó nhân 2 vế với ${a^{\alpha - 2}}$
Đúng mà
Còn nữa, như đã nói ở trên mình chưa biết nhiều về dạng toán có số mũ ko nguyên nên chỉ có thể cm bđt này với số mũ nguyên dương.
Bạn post lời giải cho mọi người xem đi.

Lời giải :
$VT = \sum {\dfrac{{a^\alpha }}{{b + c}}} = \sum {\dfrac{{\left( {a^{\dfrac{{\alpha + 1}}{2}} } \right)^2 }}{{a\left( {b + c} \right)}}} \ge \dfrac{{\left( {\sum {a^{\dfrac{{\alpha + 1}}{2}} } } \right)^2 }}{{2\sum {ab} }}(cauchy-Schwarz) $
$a^{\dfrac{{\alpha + 1}}{2}} = \left[ {1 + \left( {a - 1} \right)} \right]^{\dfrac{{\alpha + 1}}{2}} \ge 1 + \dfrac{{1 + \alpha }}{2}\left( {a - 1} \right) = \dfrac{{1 - \alpha }}{2} + \dfrac{{1 + \alpha }}{2}a\left( {Becnoulli} \right)$
$\Rightarrow \sum {a^{\dfrac{{\alpha + 1}}{2}} } - \sum a \ge \dfrac{{3\left( {1 - \alpha } \right)}}{2} + \dfrac{{1 + \alpha }}{2}\left( {a + b + c} \right) - \left( {a + b + c} \right)$
$= \dfrac{{\alpha - 1}}{2}\left( {a + b + c - 3} \right) \ge \dfrac{{\alpha - 1}}{2}\left( {3\sqrt[3]{{abc}} - 3} \right) = 0 $
$\Rightarrow \sum {a^{\dfrac{{\alpha + 1}}{2}} } \ge \sum a \Rightarrow \left( {\sum {a^{\dfrac{{\alpha + 1}}{2}} } } \right)^2 \ge \left( {\sum a } \right)^2 \ge 3\sum {ab} $
$\Rightarrow VT \ge \dfrac{{\left( {\sum {a^{\dfrac{{\alpha + 1}}{2}} } } \right)^2 }}{{2\sum {ab} }} \ge \dfrac{{3\sum {ab} }}{{2\sum {ab} }} = \dfrac{3}{2} = VP\left( {dpcm} \right) $
P/s:Bài này còn giải theo cách dùng BĐT Trê-bư-sép của "nguyenthaiphuc"
1 bài khác nhé!
Cho $a,b,c>0$
CM:$\left( {a^2 + 2} \right)\left( {b^2 + 2} \right)\left( {c^2 + 2} \right) \ge 9\left( {ab + bc + ca} \right)$

Edited by dark templar, 16-11-2010 - 21:49.