cho a,b,c dương. CMR
$ \dfrac{b+c}{2 a^{2} +bc}+ \dfrac{c+a}{2 b^{2}+ca }+ \dfrac{a+b}{2 c^{2}+ab } \geq \dfrac{6}{a+b+c}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Giang1994: 27-04-2011 - 14:02
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Giang1994: 27-04-2011 - 14:02
Don't let people know what you think
Bài này thật ra mình cũng ko nghĩ ra ,đây là cách trong cuốn sách của mình :cháo các bạn! ai giỏi toán giúp mình bài này vs! cảm ơn các bạn rất nhiều.
cho a,b,c dương. CMR
$\dfrac{b+c}{2 a^{2} +bc}+ \dfrac{c+a}{2 b^{2}+ca }+ \dfrac{a+b}{2 c^{2}+ab } \geq \dfrac{6}{a+b+c}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 12-11-2010 - 19:19
thanks dark templar, thế theo các bạn bài này có thể giải bằng chuẩn hóa được không? mình chuẩn hóa a+b+c=1 rồi dẫn đến ab+bc+ca-3abc <=2/9.tiếp thì chẳng biết làm thế nào, mà bdt này cũng đúng. các bạn giúp mình giải quyết tiếp nhớ!Bài này thật ra mình cũng ko nghĩ ra ,đây là cách trong cuốn sách của mình :
BĐT tương đương
$\sum {\dfrac{{4\left( {b + c} \right)\left( {a + b + c} \right)}}{{2a^2 + bc}}} \ge 24 \Leftrightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} - \sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 24 $ $\sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} = \dfrac{3}{2} - \sum {\dfrac{{bc}}{{2\left( {2a^2 + bc} \right)}}} \le \dfrac{3}{2} - \dfrac{{\left( {\sum {bc} } \right)^2 }}{{2\sum {bc\left( {2a^2 + bc} \right)} }} = 1 $
Ta sẽ cm $\sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 25$
ko mất tính tổng quát giả sử $c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}$
Đặt $t=\dfrac{a+b}{2} \Rightarrow tc \leq ab \leq t^2$
Ta sẽ cm
$\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{\left( {b + 2c + 2a} \right)^2 }}{{2b^2 + ca}} \ge \dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :
$\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{\left( {b + 2c + 2a} \right)^2 }}{{2b^2 + ca}} \ge \dfrac{{\left[ {b\left( {a + 2b + 2c} \right) + a\left( {b + 2c + 2a} \right)} \right]^2 }}{{b^2 \left( {2a^2 + bc} \right) + a^2 \left( {2b^2 + ca} \right)}} = \dfrac{{2\left( {4t^2 - ab + 2tc} \right)^2 }}{{2a^2 b^2 - 3abtc + 4t^3 c}} $
$tc \le ab \le t^2 \Rightarrow 2a^2 b^2 - 3abtc - \left( {2t^4 - 3t^3 c} \right) $
$= - \left( {t^2 - ab} \right)\left( {2t^2 + 2ab - 3tc} \right) \le 0 $
$\Rightarrow \dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{\left( {b + 2c + 2a} \right)^2 }}{{2b^2 + ca}} \ge \dfrac{{2\left( {4t^2 - ab + 2tc} \right)^2 }}{{2a^2 b^2 - 3abtc + 4t^3 c}}$
$\ge \dfrac{{2\left( {3t^2 + 2tc} \right)^2 }}{{2t^4 - 3t^3 c + 4t^3 c}} = \dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}}$
$\dfrac{{\left( {c + 2a + 2b} \right)^2 }}{{2c^2 + ab}} \ge \dfrac{{\left( {4t + c} \right)^2 }}{{t^2 + 2c^2 }} \Rightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge \dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}} + \dfrac{{\left( {4t + c} \right)^2 }}{{t^2 + 2c^2 }} $
Ta sẽ cm
$\dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}} + \dfrac{{\left( {4t + c} \right)^2 }}{{t^2 + 2c^2 }} \ge 25 \Leftrightarrow \dfrac{{c\left( {31t + 16c} \right)\left( {t - c} \right)^2 }}{{t\left( {2t + c} \right)\left( {t^2 + 2c^2 } \right)}} \ge 0\left( {true} \right)$
$\Rightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 25,\sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} \le 1 $
$\Rightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} - \sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 25 - 1 = 24\left( {dpcm} \right)$
Don't let people know what you think
thanks dark templar, thế theo các bạn bài này có thể giải bằng chuẩn hóa được không? mình chuẩn hóa $a+b+c=1$ rồi dẫn đến $ab+bc+ca-3abc \le \dfrac{2}{9}$.tiếp thì chẳng biết làm thế nào, mà bdt này cũng đúng. các bạn giúp mình giải quyết tiếp nhớ!
rongden_167
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh