Chủ đề này có 5 trả lời

[baybay1]

Cho $ \ x^{2} + y^{2} $ = 14x + 6y + 6. Tìm giá trị lớn nhất của 3x + 4y

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baybay1: 09-03-2011 - 14:25

[hxthanh]

Cho $ \ x^{2} + y^{2} $ = 14x + 6y + 6. Tìm giá trị lớn nhất của 3x + 4y

Có một cách làm cho những bài như thế này, như sau:
Ta có
$\begin{align*}& \left(x-\left(\dfrac{3a+14}{2}\right)\right)^2+\left(y-\left(\dfrac{4a+6}{2}\right)\right)^2\ge 0 \\ & \Leftrightarrow (x^2+y^2-14x-6y-6)-a(3x+4y)+\dfrac{25a^2+132a+256}{4} \ge 0\end{align*}$
Từ đây, $\forall a>0$, ta sẽ có :
$3x+4y\le \dfrac{25a^2+132a+256}{4a} \Rightarrow 3x+4y\le Min\left(\dfrac{25a^2+132a+256}{4a}\right)$

Bài toán của ta được giải quyết, với nhiệm vụ đơn giản hơn rất nhiều

Với $a>0$ tìm $Min\left(\dfrac{25a^2+132a+256}{4a}\right)$
Tìm được $Min\left(\dfrac{25a^2+132a+256}{4a}\right)=73$ tại $a=\dfrac{16}{5}$(dành cho bạn điều này)
Khi đó ta có :
$\left(x-\dfrac{59}{5}\right)^2+\left(y-\dfrac{47}{5}\right)^2\ge 0$
Tóm lại:
$Max\left(3x+4y\right)=73$ đạt được tại $\left(x,y\right)=\left(\dfrac{59}{5},\dfrac{47}{5}\right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 30-12-2011 - 15:24

[hxthanh]

Tương tự ta có bài toán:
Với $x^2+y^2=14x+6y+6$
Tìm $Min\left(3x+4y\right)$
------------------------------------------
Lời giải: Ta có:
$\left(x-\left(\dfrac{14-3a}{2}\right)\right)^2+\left(y-\left(\dfrac{6-4a}{2}\right)\right)^2\ge 0\;\;(1)$
$ \Leftrightarrow \left(x^2+y^2-14x-6y-6\right)+a(3x+4y)+\dfrac{25a^2-132a+256}{4}\ge 0$
Từ đây với $\forall a>0$ ta có
$3x+4y \ge \dfrac{132a-25a^2-256}{4a} \Rightarrow 3x+4y \ge Max\left(\dfrac{132a-25a^2-256}{4a}\right)$
Ta có:
$\dfrac{132a-25a^2-256}{4a}=33-\left(\dfrac{25a}{4}+\dfrac{64}{a}\right) \le 33-2\sqrt{\dfrac{25a}{4}.\dfrac{64}{a}}=-7\;\;.$ (AM-GM)
Dấu "=" xảy ra khi $a=\dfrac{16}{5}$
Khi đó (1) trở thành:
$\left(x-\dfrac{11}{5}\right)^2+\left(y+\dfrac{17}{5}\right)^2\ge 0\;\;(1)$
Do đó:
$Min\left(3x+4y\right)=-7$ đạt được tại $\left(x,y\right)=\left(\dfrac{11}{5},-\,\dfrac{17}{5}\right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 09-03-2011 - 21:39

[baybay1]

Cam on ban nhe. Nhung vi sao: $3x+4y\le \dfrac{25a^2+132a+256}{4a} \Rightarrow 3x+4y\le Min\left(\dfrac{25a^2+132a+256}{4a}\right)$. Minh chua hieu lam

[hxthanh]

Thế này nhé!
Vế Phải thay đổi thế nào tùy ý nhưng vẫn lớn hơn hay bằng Vế Trái. Thế chẳng phải là Giá trị nhỏ nhất của VP cũng lớn hơn hay bằng VT thì là gì? Ok?

[baybay1]

uhm. thanks. Nhung vì sao lại biết và đi từ BĐT:
$\left(x-\left(\dfrac{14-3a}{2}\right)\right)^2+\left(y-\left(\dfrac{6-4a}{2}\right)\right)^2\ge 0\;\;$

Hay thế. Bạn có thể nói rõ hơn được không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baybay1: 09-03-2011 - 22:44