Chủ đề này có 1 trả lời

[NGOCTIEN_A1_DQH]

cho $a,b,c \geq 0; a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$ a \sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1} +c \sqrt{a^3+1} \le 5 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 30-05-2011 - 20:40

[dark templar]

cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$ a \sqrt{b^3+1}+b \sqrt{c^3+1} +c \sqrt{a^3+1} \le 5 $

Sử dụng BDT AM-GM,ta có:
$\sqrt{a^3+1}=\sqrt{(a+1)(1+a^2-a)} \le \dfrac{1+a+1-a+a^2}{2}=\dfrac{2+a^2}{2}$
Tương tự cho các biến $b,c$,ta thu được:
$VT \le \dfrac{2\sum a +ab^2+bc^2+ca^2}{2}=\dfrac{6+ab^2+bc^2+ca^2}{2} \le VP=5 $
$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2 \le 4$
Đặt $a=3x;b=3y;c=3z \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x,y,z \ge 0\\x+y+z=1\end{array}\right. $
Như vậy ta cần phải chứng minh :$xy^2+yz^2+zx^2 \le \dfrac{4}{27}$
Đây chính là một kết quả rất nổi tiếng của Murray Klampkin nên ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $a=0;b=1;c=2$ hoặc các hoán vị tương ứng.
-----------------------------------------------------------------
P/s:Murray Klamkin đã chứng minh đc bài toán cho $n$ biến như sau:
Cho $x_{i}(i=\overline {1,n}) \ge 0$ thỏa $ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}=1$.Chứng minh rằng:
$x_1x_2^2+x_2x_3^2+....+x_nx_1^2 \le \dfrac{4}{27}$
Tham khảo thêm ở đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 28-03-2011 - 21:21