Chủ đề này có 2 trả lời

[truclamyentu]

Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2{x^2}{y^2}\\x + y + 1 = 3{x^2}\end{array} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 26-10-2011 - 22:26
Tiêu đề không hợp lệ (đã sửa)

[truclamyentu]

Bài này có vẻ đơn giản nhưng hơn 1 năm rồi mà chưa có lời giải nào ,các bạn thử tiếp tục xem

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 04-05-2012 - 16:59

[Crystal]

Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2{x^2}{y^2}\,\,\,\,\,(*)\\x + y + 1 = 3{x^2}\end{array} \right.$

+ Trường hợp : $y \geq x$

Từ $\left( * \right)$ suy ra $2x^2y^2 \geq 2x^2$ và $2x^2y^2 \leq 2y^2$ hay $y \geq 1 \vee y \leq -1$ và $1 \geq x \geq -1$

* Nếu $y \leq -1$ khi đó $x \leq -1$ ta có $3x^2=x+y+1 \leq -1$ ( vô lý ) .Vậy $y \geq 1$

* Nếu $0 \geq x \geq -1$ thì từ $y=3x^2-x-1$ với $y^{'}=6x-1 <0$ suy ra $y \geq 3y^2-y-1$ hay $(y-1)(3y+1) \leq 0$ ( vô lý, vì $y \geq 1$ ) nên $1 \geq x \geq 0$

Mặt khác $3x^2-x-1=y \geq x$ hay $(x-1)(3x+1) \geq 0$ do $x \geq 0$ nên $x \geq 1$ suy ra $x=1$ kéo theo $y=1$

+ Trường hợp : $x \geq y$

Từ $\left( * \right)$ suy ra $2x^2y^2 \geq 2y^2$ và $2x^2y^2 \leq 2x^2$ hay $x \geq 1 \vee x \leq -1$ và $1 \geq y \geq -1$

* Nếu $x \leq -1$ khi đó $y \leq -1$ ta có $3x^2=x+y+1 \leq -1$ ( vô lý ) .Vậy $x \geq 1$

Ta có $y=3x^2-x-1$ với $y^{'}=6x-1 >0$ suy ra $y \geq 3.1^2-1-1=1$ .Vậy $y=1$ kéo theo $x=1$

Kết luận nghiệm của hệ $(x,y) =(1,1)$

Theo phuc_90