ABC nhọn nội tiếp (O), ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. EF cắt AH tại I. Gọi K là trung điểm của AH. Chứng minh I là trực tâm của KBC.
Một bài toán Hình thi tuyển sinh lớp 10
Bắt đầu bởi Phạm Hoàng Sỹ, 20-05-2011 - 03:00
#1
Đã gửi 20-05-2011 - 03:00
Phạm Hoàng Sỹ
-
- Thành viên
-
- 2 Bài viết
Lính mới
Cho ABC nhọn nội tiếp (O), ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. EF cắt AH tại I. Gọi K là trung điểm của AH. Chứng minh I là trực tâm của KBC.
ABC nhọn nội tiếp (O), ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. EF cắt AH tại I. Gọi K là trung điểm của AH. Chứng minh I là trực tâm của KBC.
#2
Đã gửi 31-05-2011 - 10:06
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5026 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Bài này lâu rồi không ai chém. Làm luôn! 
Lấy J là trung điểm của BC.
Ta có:
$\angle JBE=\angle EAK \Rightarrow \angle JEB=\angle KEA \Rightarrow \angle JEK=90^o \Rightarrow$ JE là tiếp tuyến (K;KH). Tương tự, JF là tiếp tuyến (K) nên KJ
FE tại G. JGID là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow KI.KD=KJ.KG=KE^2=KH^2$
$\Leftrightarrow KD^2-KI.KD=KD^2-KH^2$
$\Leftrightarrow DI.DK=DH.DA (1)$
Lại có: $\vartriangle BHD \sim \vartriangle ADC \Rightarrow DB.DC=DH.DA (2)$
$(1),(2) \Rightarrow DI.DK=DB.DC \Rightarrow \dfrac{DI}{DB}=\dfrac{DC}{DK}$
$\Rightarrow \vartriangle BID \sim \vartriangle KDC \Rightarrow \angle IBD=\angle DKC$
$\Rightarrow \angle IBC+\angle DKC=90^o \Rightarrow BI \bot KC \Rightarrow Q.E.D$
Lấy J là trung điểm của BC.
Ta có:
$\angle JBE=\angle EAK \Rightarrow \angle JEB=\angle KEA \Rightarrow \angle JEK=90^o \Rightarrow$ JE là tiếp tuyến (K;KH). Tương tự, JF là tiếp tuyến (K) nên KJ
FE tại G. JGID là tứ giác nội tiếp.$\Rightarrow KI.KD=KJ.KG=KE^2=KH^2$
$\Leftrightarrow KD^2-KI.KD=KD^2-KH^2$
$\Leftrightarrow DI.DK=DH.DA (1)$
Lại có: $\vartriangle BHD \sim \vartriangle ADC \Rightarrow DB.DC=DH.DA (2)$
$(1),(2) \Rightarrow DI.DK=DB.DC \Rightarrow \dfrac{DI}{DB}=\dfrac{DC}{DK}$
$\Rightarrow \vartriangle BID \sim \vartriangle KDC \Rightarrow \angle IBD=\angle DKC$
$\Rightarrow \angle IBC+\angle DKC=90^o \Rightarrow BI \bot KC \Rightarrow Q.E.D$
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
