Chủ đề này có 6 trả lời

[hieuthien]

1. Cho $x_{k}=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+...+\dfrac{k}{(k+1)!}$

Tìm $lim\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+...+x_{2011}^{n}}$


2.Cho $ x_{1}=5,x_{n+1}=x_{n}^{2}-2$

$Tìm lim\dfrac{x_{n+1}}{x_{1}.x_{2}...x_{n}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuthien: 09-06-2011 - 07:10

[dark templar]

theo minh cu lam binh ghuong la ra mak

Mình nhắc nhở thành viên map_mknc0905 là không post những bài như thế này.Đây được xem là spam và sẽ bị xóa không thương tiếc. Thân.

2.Cho $ x_{1}=5,x_{n+1}=x_{n}^{2}-2$

$Tìm lim\dfrac{x_{n+1}}{x_{1}.x_{2}...x_{n}}$

Vui vui tí vậy
Nhận thấy rằng $x_1=5>2$ nên đặt $x_1=a+\dfrac{1}{a},a=\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}$
Sử dụng quy nạp thông thường,ta chứng minh được:$x_{n+1}=a^{2^{n}}+\dfrac{1}{a^{2^{n}}}$
Vậy,ta có:$\dfrac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}=\dfrac{a^{2^{n}}+\dfrac{1}{a^{2^{n}}}}{\left(a+\dfrac{1}{a} \right)\left(a^2+\dfrac{1}{a^2} \right)...\left(a^{2^{n-1}}+\dfrac{1}{a^{2^{n-1}}}} \right)}=\left(a-\dfrac{1}{a} \right)\left(1+\dfrac{2}{a^{2^{n+1}}-1} \right)$
$ \Rightarrow \lim \dfrac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}=a-\dfrac{1}{a}$

[hieuthien]

Hình như có sự nhầm lẫn rồi !
$x_{n+1}=a^{2n}+\dfrac{1}{a^{2n}}$ chỉ đúng với n=1,2 còn 3 trở đi thì không đúng !
Em cũng thấy được tính qui luật của dãy số nhưng cũng không thể đoán được công thức tổng quát của nó !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuthien: 09-06-2011 - 10:55

[dark templar]

Hình như có sự nhầm lẫn rồi !
$x_{n+1}=a^{2n}+\dfrac{1}{a^{2n}}$ chỉ đúng với n=1,2 còn 3 trở đi thì không đúng !
Em cũng thấy được tính qui luật của dãy số nhưng cũng không thể đoán được công thức tổng quát của nó !

Nhìn cho kỹ lời giải nhé ) Anh ghi là $x_{n+1}=a^{2^{n}}+\dfrac{1}{a^{2^{n}}}$ )

[hieuthien]

em nhầm , CTTQ của anh đúng rồi ! Mắt dạo này kém quá ! Thanks !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuthien: 14-06-2011 - 06:03

[Crystal]

1. Cho $x_{k}=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+...+\dfrac{k}{(k+1)!}$

Tìm $lim\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+...+x_{2011}^{n}}$

Bài này khá lâu rồi.
Giải:

Vì ${x_{k + 1}} - {x_k} = \dfrac{{k + 1}}{{\left( {k + 2} \right)!}} > 0\,\,\forall k \in N \Rightarrow {x_{k + 1}} > {x_k} > 0,\,\,\forall k \in N$

$ \Rightarrow x_{2011}^n < x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n < 2011.x_{2011}^n$

$ \Rightarrow {x_{2011}} < \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} < \sqrt[n]{{2011}}.{x_{2011}}\,\,\,\,(1)$

Mặt khác: $\dfrac{k}{{\left( {k + 1} \right)!}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right) - 1}}{{\left( {k + 1} \right)!}} = \dfrac{1}{{k!}} - \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)!}}$

$\Rightarrow {x_k} = \left( {1 - \dfrac{1}{{2!}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{2!}} - \dfrac{1}{{3!}}} \right) + ... + \left( {\dfrac{1}{{k!}} - \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)!}}} \right) = 1 - \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)!}}$

$ \Rightarrow {x_{2011}} = 1 - \dfrac{1}{{2012!}}$

Thay ${x_{2011}}$ vào ( 1 ) ta được:

$1 - \dfrac{1}{{2012!}} < \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} < \sqrt[n]{{2011}}.\left( {1 - \dfrac{1}{{2012!}}} \right)$

Mà $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 - \dfrac{1}{{2012!}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\sqrt[n]{{2011}}.\left( {1 - \dfrac{1}{{2012!}}} \right)} \right]$

Do đó: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} = 1 - \dfrac{1}{{2012!}}$.

[go out]

Bài này khá lâu rồi.
Giải:

Vì ${x_{k + 1}} - {x_k} = \dfrac{{k + 1}}{{\left( {k + 2} \right)!}} > 0\,\,\forall k \in N \Rightarrow {x_{k + 1}} > {x_k} > 0,\,\,\forall k \in N$

$ \Rightarrow x_{2011}^n < x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n < 2011.x_{2011}^n$

$ \Rightarrow {x_{2011}} < \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} < \sqrt[n]{{2011}}.{x_{2011}}\,\,\,\,(1)$

Mặt khác: $\dfrac{k}{{\left( {k + 1} \right)!}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right) - 1}}{{\left( {k + 1} \right)!}} = \dfrac{1}{{k!}} - \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)!}}$

$\Rightarrow {x_k} = \left( {1 - \dfrac{1}{{2!}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{2!}} - \dfrac{1}{{3!}}} \right) + ... + \left( {\dfrac{1}{{k!}} - \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)!}}} \right) = 1 - \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)!}}$

$ \Rightarrow {x_{2011}} = 1 - \dfrac{1}{{2012!}}$

Thay ${x_{2011}}$ vào ( 1 ) ta được:

$1 - \dfrac{1}{{2012!}} < \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} < \sqrt[n]{{2011}}.\left( {1 - \dfrac{1}{{2012!}}} \right)$

Mà $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 - \dfrac{1}{{2012!}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\sqrt[n]{{2011}}.\left( {1 - \dfrac{1}{{2012!}}} \right)} \right]$

Do đó: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} = 1 - \dfrac{1}{{2012!}}$.

Mình nhớ không nhầm đây là bài mở rộng VMO 1999.