Lời giải và một số nhận xét về bài này.
Lời giải: Giả sử $c=min\left ( a,b,c \right )$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$\dfrac{a-b}{b\left ( b+2012 \right )}+\dfrac{b-c}{c\left ( c+2012 \right )}+\dfrac{c-a}{a\left ( a+2012 \right )}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \left ( a-b \right )\left [ \dfrac{1}{b\left ( b+2012 \right )} -\dfrac{1}{a\left ( a+2012 \right )}\right ]+\left ( b-c \right )\left [ \dfrac{1}{c\left ( c+2012 \right )}-\dfrac{1}{a\left ( a+2012 \right )} \right ]\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \left ( a-b \right )^{2}\dfrac{\left ( a+b+2012 \right )}{ab\left ( a+2012 \right )\left ( b+2012 \right )}+\left ( b-c \right )\left ( a-c \right )\dfrac{\left ( a+c+2012 \right )}{ac\left ( a+2012 \right )\left ( c+2012 \right )}\geq 0$$
Bất đẳng thức trên đúng với điều đã giả sử ban đầu. Ta có đpcm.
---------------------------------------------
Nhận xét: Bài toán trên được giải quyết bằng phương pháp
"Bán Schur - Bán S.O.S". Nội dung của phương pháp này như sau:
Khi đứng trước một bài toán BĐT đối xứng hay hoán vị ta tìm cách đưa BĐT cần chứng minh về dạng sau: $M\left ( a-b \right )^{2}+N\left ( a-c \right )\left ( b-c \right )\geq 0$.
Với điều kiện giả sử $c=min\left ( a,b,c \right )$ hoặc $c=max\left ( a,b,c \right )$. Nhiệm vụ của ta là chứng minh các hệ số $M, N$ không âm hoặc dương.
Về mặt lí thuyết là ta có thể đưa mọi BĐT đối xứng hay hoán vị bất kì về dạng Bán Schur - Bán S.O.S. Nhưng trong thực hành thì ta cần dựa vào một số dạng phân tích tổng quát như sau:
Dạng tổng quát: Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh có dạng là:
$$\left ( a-b \right )A\left ( a,b,c \right )+\left ( b-c \right )B\left ( a,b,c \right )+\left ( c-a \right )C\left ( a,b,c \right )\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \left ( a-b \right )\left [ A\left ( a,b,c \right ) -C\left ( a,b,c \right )\right ]
+\left ( b-c \right )\left [ B\left ( a,b,c \right )-C\left ( a,b,c \right ) \right ]\geq 0$$
Sau đó tìm cách phân tích các biểu thức $A\left ( a,b,c \right )-C\left ( a,b,c \right );\; \; B\left (a,b,c \right )-C\left ( a,b,c \right )$ sao cho chứa các thừa số $a-b;\; \; a-c$.
Đối với dạng căn thức thì ta có thể làm như sau: sử dụng biểu thức liên hợp.
$$\sqrt{A\left ( a,b,c \right )B\left ( a,b,c \right )}-\sqrt{C\left ( a,b,c \right )D\left ( a,b,c \right )}=\dfrac{A\left ( a,b,c \right )B\left ( a,b,c \right )-C\left ( a,b,c \right )D\left ( a,b,c \right )}{\sqrt{A\left ( a,b,c \right )B\left ( a,b,c \right )}+\sqrt{C\left ( a,b,c \right )D\left ( a,b,c \right )}}$$
Sau đó tìm cách đưa về dạng chính tắc của
Bán Schur - Bán S.O.S.