Đến nội dung

Hình ảnh

Mỗi ngày một chút

* * * * * 12 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 297 trả lời

#121
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài này nghiệm lẻ quá. Nhận rõ việc bình phương khá thuận lợi vì việc còn lại là giải một phương trình bậc 3. Thật vậy, đặt; a=\sqrt{x} thì phương trình trở bình phương suy ra:

$16a^3-24a^2+23a-8=0.$
nghiệm thu được:

$a=\dfrac{1}{4}\left(2+\dfrac{\sqrt[3]{9+\sqrt{4074}}}{\sqrt[3]{9}}-\dfrac{11}{\sqrt[3]{3(9+\sqrt{4074}}}\right)$

Bài này nghiệm đẹp chứ không lẻ đâu. Hãy tìm một lời giải đẹp + hay + độc đáo cho bài toán này.

#122
h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết

Bài 54: Tìm tham số a để hệ sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}{l}a\left( {x - a} \right)^2 \left( {x - 2\sqrt 2 } \right) + 1 \le 0 \\ x > a > 0 \\ \end{array} \right.$
Bài 55: Giải phương trình: $\left( {\log _2 x} \right)^2 + x\log _7 \left( {x + 3} \right) = \log _2 x\left[ {\dfrac{x}{2} + 2\log _7 \left( {x + 3} \right)} \right]$.


Biến đổi tương đương:

$\textup{pt} \Leftrightarrow \left(2\log_2x-x\right)\left(\log_2x-2log_7(x+3)\right)=0$

* Giải: $2\log_2x=x$

nhận xét: $f(x) = 2\log_2x-x \textup{ có } f''(x) > 0 \Rightarrow$ pt có 2 nghiệm là nhiều nhất.

lại có: $f(2)=f(4) = 0 \Rightarrow x = 2, x = 4$ là các nghiệm.

* giải: $\log_2x=2log_7(x+3)$ . Đặt $f(x) = \log_2x-2\log_7(x+3)$ có:

$f'(x) = \dfrac{1}{x.\ln 2} - \dfrac{2}{(x+3)\ln 7} > 0. vì :0 < x < x+3; 2\ln 2 < \ln 7$

như vậy pt có duy nhất nghiệm x = 4 tm.

kết hợp 2 giải ta có nghiệm của pt đã cho là x = 4 và x = 2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 21-08-2011 - 12:53

rongden_167


#123
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bài 41 : Giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}{y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}}\\{4xy^3+y^3+\dfrac{1}{2}=2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}}\end{array}\right. $

Trừ vế theo vế của phương trình đầu với phương trình sau trong hệ,ta thu được:

$y^6+2x^2-4xy^3-\dfrac{1}{2}=\sqrt{xy-x^2y^2}-2x^2-\sqrt{1+(2x-y)^2}$

hay:

$(y^3-2x)^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}=\dfrac{1}{2}+\sqrt{-\left(xy-\dfrac{1}{2} \right)^2+\dfrac{1}{4}}(1)$

Nhận thấy rằng:

$VT_{(1)} \ge 1;VP_{(1)} \le 1$


Nên $VT=VP$ khi và chỉ khi :

$ \left\{\begin{array}{l}y^3-2x=0\\2x-y=0\\xy=\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$

.
Giải hệ này,ta thu được:$(x;y)=\left(\dfrac{1}{2};1 \right);\left(-\dfrac{1}{2};-1 \right)$
Thế vào hệ đầu thấy $(x;y)=\left(-\dfrac{1}{2};-1 \right)$ thỏa.Xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 21-08-2011 - 13:05

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#124
h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết

Bài này nghiệm đẹp chứ không lẻ đâu. Hãy tìm một lời giải đẹp + hay + độc đáo cho bài toán này.


@xusinst: mình không muốn spam nhưng! bạn muốn kiểm tra nghiệm có lẻ hay không? có muốn ktra xem nghiệm mình đưa ra trên có đúng hay không ? .... thì hãy thử đi. Mình đảm bảo 100% rằng nếu như đề đúng như mình quote trên thì nghiêmj là như vậy.

p/s: ban cần ktra kĩ khi post bài. Thế nha. Còn về việc kiếm một lời giải đẹp, với bài này, với mình thì mình không đủ trình, suy nghĩ đưa về bậc 3 ( không cao) là ý tuởng duy nhất của mình ! Nếu có thể, mong bạn chia sẻ thêm!

rongden_167


#125
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Mình xin đóng góp 1 bài cho topic bạn Lâm ;)
Bài 59: Tìm tất cả các nghiệm dương của hệ:

$ \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3=\dfrac{2011}{x_1x_2}\\x_2+x_3-x_4=\dfrac{2011}{x_2x_3}\\...\\x_{2010}+x_{2011}-x_1=\dfrac{2011}{x_{2010}x_{2011}}\\x_{2011}+x_1-x_2=\dfrac{2011}{x_{2011}x_1}\end{array}\right. $


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#126
Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
Bài 60 : Giải phương trình :
$ \sqrt{x^2+12} +5=3x+\sqrt{x^2+5} $

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#127
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài 60 : Giải phương trình :
$ \sqrt{x^2+12} +5=3x+\sqrt{x^2+5} $ (1)


$(1) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 12} - 4 = 3x - 6 + \sqrt {{x^2} + 5} - 3$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 12} - 4} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 12} + 4} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} = 3\left( {x - 2} \right) + \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} - 3\left( {x - 2} \right) - \dfrac{{{x^2} - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} - \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} - 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x = 2\,,\,\,do \left( {\dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} - \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} - 3} \right) \ne 0$

Vậy PT (1) có nghiệm $x = 2$.


#128
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Vui cùng giới hạn.

Bài 61: Giả sử f(0)=0 và f có đạo hàm tại điểm 0. Tính

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\left[ {f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{x}{2}} \right) + f\left( {\dfrac{x}{3}} \right) + ... + f\left( {\dfrac{x}{k}} \right)} \right]\,\,,\,\,k \in {Z^ + }$.


#129
Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
Bài 62 : Tìm $ n \in \mathbb{N} $ sao cho $ 2^8+2^{11}+2^n $ là số chính phương .
P/s xusinst Đáp số bài 61 ra vầy hay một đáp số khác :alpha : $ 1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{k} $

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#130
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài 62 : Tìm $ n \in \mathbb{N} $ sao cho $ 2^8+2^{11}+2^n $ là số chính phương .
P/s xusinst Đáp số bài 61 ra vầy hay một đáp số khác :alpha : $ 1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{k} $

Là một đáp số khác Lâm ah. Đáp án của Lâm gần đúng rồI :alpha

#131
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài 62 : Tìm $ n \in \mathbb{N} $ sao cho $ 2^8+2^{11}+2^n $ là số chính phương .

Giải:

* Xét $n \le 8:\,\,{2^8} + {2^{11}} + {2^n}$ không là số chính phương.

* Xét $n > 8:$ khi đó $\,{2^8} + {2^{11}} + {2^n} = {2^8}\left( {{2^{n - 8}} + 9} \right)$

Đặt: ${2^{n - 8}} + 9 = {m^2}\,,\,\,m \in N \Leftrightarrow \left( {m + 3} \right)\left( {m - 3} \right) = {2^{n - 8}}$ (1)

$(1) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 3 = {2^p}\\m - 3 = {2^q}\end{array} \right.\,\,\,;p,q \in N\,\,\,and\,\,\,p > q$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^p}{2^q} = {2^{n - 8}}\\{2^p} - {2^q} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 3\\q = 1\end{array} \right. \Rightarrow n = 12$

Vậy n = 12.


#132
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Cách biến đổi khác cho bài 62

Giả sử ${2^8} + {2^{11}} + {2^n} = {a^2}\,\,,a \in N \Rightarrow {2^n} = {a^2} - {48^2} = \left( {a - 48} \right)\left( {a + 48} \right)$

$ \Rightarrow {2^p}{2^q} = \left( {a - 48} \right)\left( {a + 48} \right)\,\,,\,p,q \in N;\,p + q = n\,\,\,and\,\,\,p > q$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 48 = {2^p}\\a - 48 = {2^q}\end{array} \right. \Rightarrow {2^p} - {2^q} = 96 \Leftrightarrow {2^q}\left( {{2^{p - q}} - 1} \right) = {2^5}.3$

$ \Rightarrow q = 5\,,\,\,p = 7 \Rightarrow n = 12$. Thử lại thấy ${2^8} + {2^{11}} + {2^{12}} = {80^2}$

Vậy n = 12.


#133
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Bài 63. Giải phương trình nghiệm nguyên
a) $a^{3}-2b^{3}+6a^{2}b-3ab^{2}=2$
b) $(c^{2}-3d^{2})c+3(3c^{3}-d^{2})d=1$

P/s: Thật xin lỗi nhưng bài toán này mình vẫn chưa tìm ra lời giải, mong mọi người giúp đỡ.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#134
Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
Cùng nhau đánh bài xả stress :alpha.
Bài 64 : Có 4 bạn chơi tiến lên, mỗi bạn nhận được 13 quân bài . Tính xác suất mà 1 người chơi nhận được 1 bộ tứ quí trong 13 quân bài đó .

Bài 65 : Giải hệ phương trình :
$ \left\{\begin{array}{l}{xy+y+2x=2}\\{yz+2z+3y=6}\\{xz+z+3x=5 } \end{array}\right. $
P/s: Dạo này mấy bác phải tự xử thôi. Xin lỗi vì không có thời gian online nhiều .

Bài 66 : Tìm GTLN , GTNN của $ P= x^2+y^2-xy $ biết $ \left\{\begin{array}{l}{0 \leq x+y \leq 2}\\{x^2+y^2+xy=3}\end{array}\right. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 24-08-2011 - 20:43

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#135
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bài 66 : Tìm GTLN , GTNN của $ P= x^2+y^2-xy $ biết $ \left\{\begin{array}{l}{0 \leq x+y \leq 2}\\{x^2+y^2+xy=3}\end{array}\right. $

$P=x^2+y^2-xy=3-2xy$

$3+xy=(x+y)^2 \in [0;4] \Rightarrow -3 \le xy \le 1$

$1 \le P \le 9$

$\min P=1 \Leftrightarrow x=y=1;\max P=9 \Leftrightarrow (x;y)=(-\sqrt{3};\sqrt{3});(\sqrt{3};-\sqrt{3})$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 67:
Cho dãy số:

$\{x_n \}: \left\{\begin{array}{l}x_1=a>1\\x_{n+1}=x_{n}^2-x_{n}+1,\forall n \in N\end{array}\right. $

Tính:

$\lim \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 27-08-2011 - 17:50

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#136
Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
Bài 68 : Cho các số thực dương $ a,b,c$ thỏa mãn $abc=1 $ .Chứng minh rằng :
$ (a-1+\dfrac{1}{b})(b-1+\dfrac{1}{c})(c-1+\dfrac{1}{a}) \leq 1 $ (IMO 2000)
P/s : Một bài tiểu biểu cho Bất đẳng thức Schur .

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#137
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Giải bài 65.
Từ phương trình (3) ta có
$z=-\dfrac{3x-5}{x+1}$, thay vào phương trình (2) ta có

$-\dfrac{y(3x-5)}{x+1}-2\dfrac{3x-5}{x+1}+3y-6=0$ (4)

Từ phương trình (1) ta có
$y=-\dfrac{2(x-1)}{x+1}$(5)
Thay (5) vào (4)

$\dfrac{2(x-1)(3x-5)}{(x+1)^2}-\dfrac{2(3x-5)}{x+1}-\dfrac{6(x-1)}{x+1}-6=0$


PT trở thành $-12x^2-24x+20=0$
Do đó ta tìm được nghiệm
$x_1=-1-\dfrac{2}{3}\sqrt{6}$
$x_2=-1+\dfrac{2}{3}\sqrt{6}$
Từ đấy dễ dàng tìm được nghiệm của $y$ và $z$.

P/s: Lời giải em hơi dài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 28-08-2011 - 06:47

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#138
NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 67:
Cho dãy số:

$\{x_n \}: \left\{\begin{array}{l}x_1=a>1\\x_{n+1}=x_{n}^2-x_{n}+1,\forall n \in N\end{array}\right. $

Tính:

$\lim \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i}}$

mình làm bài 67 này :D :(
vì $ x_1=a>1 $ và:
$ x_{n+1}=x_n+(x_n-1)^2, n=1,2,.......$
suy ra dãy $ {x_n} $ là dãy tăng (1)
giả sử $ {x_n} $ bì chặn trên thì:
$ limx_n=a>1 \\ \Leftrightarrow a=a^2-a+1 \\ \Leftrightarrow a=1 (KTM) $
suy ra $ limx_n=+\infty $
mặt khác ta có:
$ x_{i+1}-1=x_i(x_i-1) \\ \Rightarrow \dfrac{1}{x_i}=\dfrac{1}{x_i-1}-\dfrac{1}{x_{i+1}-1}, i=1,2..... $
$ \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}=\dfrac{1}{x_1-1}-\dfrac{1}{x_{n+1}-1}$
vậy $ lim \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i}}=1$
đã xong :D :D
thêm 1 bài dãy số nữa cho các bác chém nhé :geq :geq
bài 69:
cho dãy số $ {x_n}, (n=1,2.....) $ xác định bởi:
$ \left\{\begin{array}{l}x_1=2 \\ \\ x_{n+1}=\dfrac{x_n^4-x_n+1}{x_n^3-x_n+1}\end{array}\right. $
CMR dãy $ {y_n} $ xác định bởi:
$ y_n= \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_i^3} $
có giới hạn hữu hạn và tìm $ limy_n $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 28-08-2011 - 20:46

Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#139
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết

Bài 68 : Cho các số thực dương $ a,b,c$ thỏa mãn $abc=1 $ .Chứng minh rằng :
$ (a-1+\dfrac{1}{b})(b-1+\dfrac{1}{c})(c-1+\dfrac{1}{a}) \leq 1 $ (IMO 2000)
P/s : Một bài tiểu biểu cho Bất đẳng thức Schur .


Bài làm
Do$abc=1$ nên ta có:

$(a - 1 + \dfrac{1}{b}) = a(1 - \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{{ab}}) = a(1 - \dfrac{1}{a} + c) = a(c + 1 - \dfrac{1}{a})$
Suy ra:

$(a - 1 + \dfrac{1}{b})(c - 1 + \dfrac{1}{a}) = a(c + 1 - \dfrac{1}{a})(c - 1 + \dfrac{1}{a}) = a\left[ {{c^2} - {{\left( {1 - \dfrac{1}{a}} \right)}^2}} \right] \le a{c^2}$
Làm tương tự rôìi nhân lại ta được:

${\left[ {(a - 1 + \dfrac{1}{b})(b - 1 + \dfrac{1}{c})(c - 1 + \dfrac{1}{a})} \right]^2} \le {a^2}b.{b^2}c.{c^2}a = 1$
Từ đó suy ra:

$(a - 1 + \dfrac{1}{b})(b - 1 + \dfrac{1}{c})(c - 1 + \dfrac{1}{a}) \le 1$(đpcm)

Dấu = khi $a=b=c=1$

P/s: Do một số lý do nên Nguyễn Hoàng Lâm không tham gia quản lý topic này một thời gian. Mình được Lâm nhờ coi giúp việc post bài của topic trong thời gian đó. Mong mọi người ủng hộ. :(
Topic vẫn sẽ hoạt động bình thường như trước, vẫn sẽ '' Mỗi ngày một chút ''!

@ Nguyễn Hoàng Lâm : Mọi người ủng hộ cho topic hoạt động bình thường nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 28-08-2011 - 21:40

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#140
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
Bài 66:
Cho $a,b,c,d \in \left[ {0,1} \right]$ .
Tìm Min:
$P = (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) + a + b + c + d$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 30-08-2011 - 23:42

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh