Bài này nghiệm đẹp chứ không lẻ đâu. Hãy tìm một lời giải đẹp + hay + độc đáo cho bài toán này.Bài này nghiệm lẻ quá. Nhận rõ việc bình phương khá thuận lợi vì việc còn lại là giải một phương trình bậc 3. Thật vậy, đặt; a=\sqrt{x} thì phương trình trở bình phương suy ra:
$16a^3-24a^2+23a-8=0.$
nghiệm thu được:
$a=\dfrac{1}{4}\left(2+\dfrac{\sqrt[3]{9+\sqrt{4074}}}{\sqrt[3]{9}}-\dfrac{11}{\sqrt[3]{3(9+\sqrt{4074}}}\right)$
Mỗi ngày một chút
#121
Đã gửi 21-08-2011 - 12:28
#122
Đã gửi 21-08-2011 - 12:51
Bài 54: Tìm tham số a để hệ sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}{l}a\left( {x - a} \right)^2 \left( {x - 2\sqrt 2 } \right) + 1 \le 0 \\ x > a > 0 \\ \end{array} \right.$
Bài 55: Giải phương trình: $\left( {\log _2 x} \right)^2 + x\log _7 \left( {x + 3} \right) = \log _2 x\left[ {\dfrac{x}{2} + 2\log _7 \left( {x + 3} \right)} \right]$.
Biến đổi tương đương:
$\textup{pt} \Leftrightarrow \left(2\log_2x-x\right)\left(\log_2x-2log_7(x+3)\right)=0$
* Giải: $2\log_2x=x$
nhận xét: $f(x) = 2\log_2x-x \textup{ có } f''(x) > 0 \Rightarrow$ pt có 2 nghiệm là nhiều nhất.
lại có: $f(2)=f(4) = 0 \Rightarrow x = 2, x = 4$ là các nghiệm.
* giải: $\log_2x=2log_7(x+3)$ . Đặt $f(x) = \log_2x-2\log_7(x+3)$ có:
$f'(x) = \dfrac{1}{x.\ln 2} - \dfrac{2}{(x+3)\ln 7} > 0. vì :0 < x < x+3; 2\ln 2 < \ln 7$
như vậy pt có duy nhất nghiệm x = 4 tm.
kết hợp 2 giải ta có nghiệm của pt đã cho là x = 4 và x = 2.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 21-08-2011 - 12:53
rongden_167
#123
Đã gửi 21-08-2011 - 13:01
Trừ vế theo vế của phương trình đầu với phương trình sau trong hệ,ta thu được:Bài 41 : Giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}{y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}}\\{4xy^3+y^3+\dfrac{1}{2}=2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}}\end{array}\right. $
$y^6+2x^2-4xy^3-\dfrac{1}{2}=\sqrt{xy-x^2y^2}-2x^2-\sqrt{1+(2x-y)^2}$
hay:$(y^3-2x)^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}=\dfrac{1}{2}+\sqrt{-\left(xy-\dfrac{1}{2} \right)^2+\dfrac{1}{4}}(1)$
Nhận thấy rằng:$VT_{(1)} \ge 1;VP_{(1)} \le 1$
Nên $VT=VP$ khi và chỉ khi :
$ \left\{\begin{array}{l}y^3-2x=0\\2x-y=0\\xy=\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$
.Giải hệ này,ta thu được:$(x;y)=\left(\dfrac{1}{2};1 \right);\left(-\dfrac{1}{2};-1 \right)$
Thế vào hệ đầu thấy $(x;y)=\left(-\dfrac{1}{2};-1 \right)$ thỏa.Xong.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 21-08-2011 - 13:05
#124
Đã gửi 21-08-2011 - 13:01
Bài này nghiệm đẹp chứ không lẻ đâu. Hãy tìm một lời giải đẹp + hay + độc đáo cho bài toán này.
@xusinst: mình không muốn spam nhưng! bạn muốn kiểm tra nghiệm có lẻ hay không? có muốn ktra xem nghiệm mình đưa ra trên có đúng hay không ? .... thì hãy thử đi. Mình đảm bảo 100% rằng nếu như đề đúng như mình quote trên thì nghiêmj là như vậy.
p/s: ban cần ktra kĩ khi post bài. Thế nha. Còn về việc kiếm một lời giải đẹp, với bài này, với mình thì mình không đủ trình, suy nghĩ đưa về bậc 3 ( không cao) là ý tuởng duy nhất của mình ! Nếu có thể, mong bạn chia sẻ thêm!
rongden_167
#125
Đã gửi 21-08-2011 - 17:41
Bài 59: Tìm tất cả các nghiệm dương của hệ:
$ \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3=\dfrac{2011}{x_1x_2}\\x_2+x_3-x_4=\dfrac{2011}{x_2x_3}\\...\\x_{2010}+x_{2011}-x_1=\dfrac{2011}{x_{2010}x_{2011}}\\x_{2011}+x_1-x_2=\dfrac{2011}{x_{2011}x_1}\end{array}\right. $
#126
Đã gửi 22-08-2011 - 21:39
$ \sqrt{x^2+12} +5=3x+\sqrt{x^2+5} $
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#127
Đã gửi 22-08-2011 - 23:17
Bài 60 : Giải phương trình :
$ \sqrt{x^2+12} +5=3x+\sqrt{x^2+5} $ (1)
$(1) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 12} - 4 = 3x - 6 + \sqrt {{x^2} + 5} - 3$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 12} - 4} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 12} + 4} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} = 3\left( {x - 2} \right) + \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} - 3\left( {x - 2} \right) - \dfrac{{{x^2} - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} = 0$
$\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} - \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} - 3} \right) = 0$
$\Leftrightarrow x = 2\,,\,\,do \left( {\dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} - \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} - 3} \right) \ne 0$
Vậy PT (1) có nghiệm $x = 2$.
#128
Đã gửi 23-08-2011 - 11:27
Bài 61: Giả sử f(0)=0 và f có đạo hàm tại điểm 0. Tính
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\left[ {f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{x}{2}} \right) + f\left( {\dfrac{x}{3}} \right) + ... + f\left( {\dfrac{x}{k}} \right)} \right]\,\,,\,\,k \in {Z^ + }$.
#129
Đã gửi 23-08-2011 - 23:30
P/s xusinst Đáp số bài 61 ra vầy hay một đáp số khác : $ 1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{k} $
- nhungvienkimcuong yêu thích
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#130
Đã gửi 24-08-2011 - 07:48
Là một đáp số khác Lâm ah. Đáp án của Lâm gần đúng rồIBài 62 : Tìm $ n \in \mathbb{N} $ sao cho $ 2^8+2^{11}+2^n $ là số chính phương .
P/s xusinst Đáp số bài 61 ra vầy hay một đáp số khác : $ 1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{k} $
#131
Đã gửi 24-08-2011 - 07:59
Giải:Bài 62 : Tìm $ n \in \mathbb{N} $ sao cho $ 2^8+2^{11}+2^n $ là số chính phương .
* Xét $n \le 8:\,\,{2^8} + {2^{11}} + {2^n}$ không là số chính phương.
* Xét $n > 8:$ khi đó $\,{2^8} + {2^{11}} + {2^n} = {2^8}\left( {{2^{n - 8}} + 9} \right)$
Đặt: ${2^{n - 8}} + 9 = {m^2}\,,\,\,m \in N \Leftrightarrow \left( {m + 3} \right)\left( {m - 3} \right) = {2^{n - 8}}$ (1)
$(1) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 3 = {2^p}\\m - 3 = {2^q}\end{array} \right.\,\,\,;p,q \in N\,\,\,and\,\,\,p > q$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^p}{2^q} = {2^{n - 8}}\\{2^p} - {2^q} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 3\\q = 1\end{array} \right. \Rightarrow n = 12$
Vậy n = 12.
- hoahuongduong96 và nhungvienkimcuong thích
#132
Đã gửi 24-08-2011 - 08:17
Giả sử ${2^8} + {2^{11}} + {2^n} = {a^2}\,\,,a \in N \Rightarrow {2^n} = {a^2} - {48^2} = \left( {a - 48} \right)\left( {a + 48} \right)$
$ \Rightarrow {2^p}{2^q} = \left( {a - 48} \right)\left( {a + 48} \right)\,\,,\,p,q \in N;\,p + q = n\,\,\,and\,\,\,p > q$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 48 = {2^p}\\a - 48 = {2^q}\end{array} \right. \Rightarrow {2^p} - {2^q} = 96 \Leftrightarrow {2^q}\left( {{2^{p - q}} - 1} \right) = {2^5}.3$
$ \Rightarrow q = 5\,,\,\,p = 7 \Rightarrow n = 12$. Thử lại thấy ${2^8} + {2^{11}} + {2^{12}} = {80^2}$
Vậy n = 12.
- nhungvienkimcuong yêu thích
#133
Đã gửi 24-08-2011 - 11:04
a) $a^{3}-2b^{3}+6a^{2}b-3ab^{2}=2$
b) $(c^{2}-3d^{2})c+3(3c^{3}-d^{2})d=1$
P/s: Thật xin lỗi nhưng bài toán này mình vẫn chưa tìm ra lời giải, mong mọi người giúp đỡ.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#134
Đã gửi 24-08-2011 - 20:43
Bài 64 : Có 4 bạn chơi tiến lên, mỗi bạn nhận được 13 quân bài . Tính xác suất mà 1 người chơi nhận được 1 bộ tứ quí trong 13 quân bài đó .
Bài 65 : Giải hệ phương trình :
$ \left\{\begin{array}{l}{xy+y+2x=2}\\{yz+2z+3y=6}\\{xz+z+3x=5 } \end{array}\right. $
P/s: Dạo này mấy bác phải tự xử thôi. Xin lỗi vì không có thời gian online nhiều .
Bài 66 : Tìm GTLN , GTNN của $ P= x^2+y^2-xy $ biết $ \left\{\begin{array}{l}{0 \leq x+y \leq 2}\\{x^2+y^2+xy=3}\end{array}\right. $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 24-08-2011 - 20:43
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#135
Đã gửi 27-08-2011 - 17:48
Bài 66 : Tìm GTLN , GTNN của $ P= x^2+y^2-xy $ biết $ \left\{\begin{array}{l}{0 \leq x+y \leq 2}\\{x^2+y^2+xy=3}\end{array}\right. $
$P=x^2+y^2-xy=3-2xy$
$3+xy=(x+y)^2 \in [0;4] \Rightarrow -3 \le xy \le 1$
$1 \le P \le 9$
$\min P=1 \Leftrightarrow x=y=1;\max P=9 \Leftrightarrow (x;y)=(-\sqrt{3};\sqrt{3});(\sqrt{3};-\sqrt{3})$
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài 67:
Cho dãy số:
$\{x_n \}: \left\{\begin{array}{l}x_1=a>1\\x_{n+1}=x_{n}^2-x_{n}+1,\forall n \in N\end{array}\right. $
Tính:$\lim \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 27-08-2011 - 17:50
#136
Đã gửi 27-08-2011 - 23:53
$ (a-1+\dfrac{1}{b})(b-1+\dfrac{1}{c})(c-1+\dfrac{1}{a}) \leq 1 $ (IMO 2000)
P/s : Một bài tiểu biểu cho Bất đẳng thức Schur .
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#137
Đã gửi 28-08-2011 - 06:46
Từ phương trình (3) ta có
$z=-\dfrac{3x-5}{x+1}$, thay vào phương trình (2) ta có
$-\dfrac{y(3x-5)}{x+1}-2\dfrac{3x-5}{x+1}+3y-6=0$ (4)
Từ phương trình (1) ta có
$y=-\dfrac{2(x-1)}{x+1}$(5)
Thay (5) vào (4)
$\dfrac{2(x-1)(3x-5)}{(x+1)^2}-\dfrac{2(3x-5)}{x+1}-\dfrac{6(x-1)}{x+1}-6=0$
PT trở thành $-12x^2-24x+20=0$
Do đó ta tìm được nghiệm
$x_1=-1-\dfrac{2}{3}\sqrt{6}$
$x_2=-1+\dfrac{2}{3}\sqrt{6}$
Từ đấy dễ dàng tìm được nghiệm của $y$ và $z$.
P/s: Lời giải em hơi dài.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 28-08-2011 - 06:47
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#138
Đã gửi 28-08-2011 - 15:26
mình làm bài 67 này----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 67:
Cho dãy số:$\{x_n \}: \left\{\begin{array}{l}x_1=a>1\\x_{n+1}=x_{n}^2-x_{n}+1,\forall n \in N\end{array}\right. $
Tính:$\lim \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i}}$
vì $ x_1=a>1 $ và:
$ x_{n+1}=x_n+(x_n-1)^2, n=1,2,.......$
suy ra dãy $ {x_n} $ là dãy tăng (1)
giả sử $ {x_n} $ bì chặn trên thì:
$ limx_n=a>1 \\ \Leftrightarrow a=a^2-a+1 \\ \Leftrightarrow a=1 (KTM) $
suy ra $ limx_n=+\infty $
mặt khác ta có:
$ x_{i+1}-1=x_i(x_i-1) \\ \Rightarrow \dfrac{1}{x_i}=\dfrac{1}{x_i-1}-\dfrac{1}{x_{i+1}-1}, i=1,2..... $
$ \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}=\dfrac{1}{x_1-1}-\dfrac{1}{x_{n+1}-1}$
vậy $ lim \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i}}=1$
đã xong
thêm 1 bài dãy số nữa cho các bác chém nhé
bài 69:
cho dãy số $ {x_n}, (n=1,2.....) $ xác định bởi:
$ \left\{\begin{array}{l}x_1=2 \\ \\ x_{n+1}=\dfrac{x_n^4-x_n+1}{x_n^3-x_n+1}\end{array}\right. $
CMR dãy $ {y_n} $ xác định bởi:
$ y_n= \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_i^3} $
có giới hạn hữu hạn và tìm $ limy_n $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 28-08-2011 - 20:46
Mong rằng toán học bớt khô khan
Em ơi trong toán nhiều công thức
Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn
#139
Đã gửi 28-08-2011 - 21:34
Bài 68 : Cho các số thực dương $ a,b,c$ thỏa mãn $abc=1 $ .Chứng minh rằng :
$ (a-1+\dfrac{1}{b})(b-1+\dfrac{1}{c})(c-1+\dfrac{1}{a}) \leq 1 $ (IMO 2000)
P/s : Một bài tiểu biểu cho Bất đẳng thức Schur .
Bài làm
Do$abc=1$ nên ta có:
$(a - 1 + \dfrac{1}{b}) = a(1 - \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{{ab}}) = a(1 - \dfrac{1}{a} + c) = a(c + 1 - \dfrac{1}{a})$
Suy ra:
$(a - 1 + \dfrac{1}{b})(c - 1 + \dfrac{1}{a}) = a(c + 1 - \dfrac{1}{a})(c - 1 + \dfrac{1}{a}) = a\left[ {{c^2} - {{\left( {1 - \dfrac{1}{a}} \right)}^2}} \right] \le a{c^2}$
Làm tương tự rôìi nhân lại ta được:
${\left[ {(a - 1 + \dfrac{1}{b})(b - 1 + \dfrac{1}{c})(c - 1 + \dfrac{1}{a})} \right]^2} \le {a^2}b.{b^2}c.{c^2}a = 1$
Từ đó suy ra:
$(a - 1 + \dfrac{1}{b})(b - 1 + \dfrac{1}{c})(c - 1 + \dfrac{1}{a}) \le 1$(đpcm)
Dấu = khi $a=b=c=1$
P/s: Do một số lý do nên Nguyễn Hoàng Lâm không tham gia quản lý topic này một thời gian. Mình được Lâm nhờ coi giúp việc post bài của topic trong thời gian đó. Mong mọi người ủng hộ.
Topic vẫn sẽ hoạt động bình thường như trước, vẫn sẽ '' Mỗi ngày một chút ''!
@ Nguyễn Hoàng Lâm : Mọi người ủng hộ cho topic hoạt động bình thường nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 28-08-2011 - 21:40
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#140
Đã gửi 30-08-2011 - 23:42
Cho $a,b,c,d \in \left[ {0,1} \right]$ .
Tìm Min:
$P = (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) + a + b + c + d$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 30-08-2011 - 23:42
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh