Chủ đề này có 10 trả lời

[Zaraki]

Cho $x,y,z \ge 0, x+y+z \le 1$. Chứng minh rằng

$\sqrt{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}}\ge\sqrt{82}$

[Crystal]

Cho $x,y,z \ge 0, x+y+z \le 1$. Chứng minh rằng

$\sqrt{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}}\ge\sqrt{82}$

Bài này là đề thi đại học khối A năm 2003 mà.
Mình xin giới thiệu một cách;
Ta có: $\left( {x + y + z} \right)^2 + \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2 = 81\left( {x + y + z} \right)^2 + \left({\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2 - 80\left( {x + y + z} \right)^2 $
$\ge 18\left( {x + y + z} \right) + \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) - 80\left( {x + y + z} \right)^2 \ge 162 - 80 = 82$
Vậy $VT \ge \sqrt {82} $
Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = \dfrac{1}{3}$.

P/S: Bài này có nhiều cách giải khác.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 08-08-2011 - 19:35

[Zaraki]

Giới thiệu một cách nữa
Áp dụng BĐT Minkowski, ta có
$\sqrt{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}}\ge\sqrt{(x+y+z)^{2}+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^{2}}\ge\sqrt{(x+y+z)^{2}+\dfrac{81}{(x+y+z)^{2}}}=\sqrt{(x+y+z)^{2}+\dfrac{1}{(x+y+z)^{2}}+\dfrac{80}{(x+y+z)^{2}}}\ge\sqrt{2+\dfrac{80}{(x+y+z)^{2}}}\ge\sqrt{82}$

[Didier]

Cho $x,y,z \ge 0, x+y+z \le 1$. Chứng minh rằng

$\sqrt{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}}\ge\sqrt{82}$

$\sum \sqrt{x^{2}+ \dfrac{1}{x^{2} } \ge \sqrt{(x+y+z)^{2}+( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z})^{2} } \ge \sqrt{(x+y+z)^{2}+ \dfrac{81}{(x+y+z)^{2}} } \ge \sqrt{(x+y+z)^{2}+ \dfrac{1}{(x+y+z)^{2}} + \dfrac{80}{(x+y+z)^{2}}} \ge \sqrt{82}$ (bài toàn đc giải bằng minouski và cauchy)

[Zaraki]

Áp dụng AM-GM ta có

$ A=\sqrt{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}}\ge 3\sqrt[6]{(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}})(y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}})(z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}})} $.

Ta có

$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=x^{2}+\underset{81}{\underbrace{\dfrac{1}{81x^{2}}+\dfrac{1}{81x^{2}}+...+\dfrac{1}{81x^{2}}}}\geq 82\sqrt[82]{\dfrac{1}{81^{81}x^{160}}} $.

Tương tự

$ y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}\geq 82\sqrt[82]{\dfrac{1}{81^{81}y^{160}}} $.
$ z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}\geq 82\sqrt[82]{\dfrac{1}{81^{81}z^{160}}} $.

$ \Rightarrow A=\sqrt{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}} $
$ \ge 3\sqrt[6]{(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}})(y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}})(z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}})} $
$ \geq 3\sqrt[6]{82^{3}\sqrt[82]{\dfrac{1}{81^{243}(xyz)^{160}}}} $

Theo giả thiết thì $x+y+z\leq 1\Rightarrow xyz\leq\dfrac{1}{27}$

$ \Rightarrow 3\sqrt[6]{82^{3}\sqrt[82]{\dfrac{1}{81^{243}(xyz)^{160}}}}\geq 3\sqrt[6]{82^{3}\sqrt[82]{\dfrac{1}{81^{243}(\dfrac{1}{27})^{160}}}}=\sqrt{82} $.

$ \boxed{A\ge 3\sqrt[6]{(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}})(y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}})(z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}})}\geq 3\sqrt[6]{82^{3}\sqrt[82]{\dfrac{1}{81^{243}(xyz)^{160}}}}\geq\sqrt{82}} $.

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z= \dfrac{1}{3}$.

[Crystal]

$\sum \sqrt{x^{2}+ \dfrac{1}{x^{2} } \ge \sqrt{(x+y+z)^{2}+( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z})^{2} } \ge \sqrt{(x+y+z)^{2}+ \dfrac{81}{(x+y+z)^{2}} } \ge \sqrt{(x+y+z)^{2}+ \dfrac{1}{(x+y+z)^{2}} + \dfrac{80}{(x+y+z)^{2}}} \ge \sqrt{82}$ (bài toàn đc giải bằng minouski và cauchy)

Sao cái căn này nó dài thế

[Zaraki]

Anh Didier có lẽ viết sai đấy, dấu căn không đến nỗi dài như vậy đâu!

[tieulyly1995]

Cho $x,y,z \ge 0, x+y+z \le 1$. Chứng minh rằng

$\sqrt{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}}\ge\sqrt{82}$

Thêm một cách nữa
Xét 3 vecto: $\overrightarrow{a}(x;\frac{1}{y}), \overrightarrow{b}(y;\frac{1}{z}), \overrightarrow{c}(z;\frac{1}{x})$

$\Rightarrow (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) (x+y+z;\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Áp dụng công thức :
$\left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |+\left | \overrightarrow{c} \right |\geq \left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right |$
ta có :
$VT\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+(\frac{9}{x+y+z})^{2}}= \sqrt{82}$

[Crystal]

Bài toán của bạn jackboy225

Cho $x, y, z > 0$ và $x +y +z \leq 2$ . CMR:
$\sqrt{x^{2}+ \frac{1}{y_{2}}}$ + $\sqrt{y^{2}+ \frac{1}{z_{2}}}$ + $\sqrt{z^{2}+ \frac{1}{x_{2}}}$ $\geq$ $\sqrt{\frac{97}{2}}$

[triethuynhmath]

Bài toán của bạn jackboy225

Nãy em đang post thì không ngờ topic bị khóa.Thôi qua đây vậy
Áp dụng BĐT Bunyakovsky,ta có:
$\sqrt{(x^2+\frac{1}{y^2})97}=\sqrt{(9^2+4^2)(x^2+\frac{1}{y^2})}\geq 4x+\frac{9}{y}$
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế theo vế,ta được:
$\sum \sqrt{97}\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\geq 4x+4y+4z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}$
$=(\frac{81}{4}x+\frac{9}{x})+(\frac{81}{4}y+\frac{9}{y})+(\frac{81}{4}z+\frac{9}{z})-\frac{65}{4}(x+y+z)\geq$
$ 27+27+27-\frac{65}{2}(cauchy,x+y+z\leq 2)=\frac{97}{2}$
$\Rightarrow \sum \sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\geq \frac{\sqrt{97}}{2}(Q.E.D)$
P/s:Theo như mình xem qua thì chưa ai giải bài này bằng cách dùng Bunyakovsky,mình xin giới thiệu cách mới.Đây là lần đầu tiên mình giải 1 bài toán trong box Olympic,mọi người ủng hộ nhé!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 26-07-2012 - 21:29

[T M]

Bài của jack thực ra không khác là mấy so với bài trên cả, ngoài số ra.

Bước 1. Áp dụng BĐT Minkopski như bài giải số 2.

Bước 2. Khảo sát hàm $f(t)=t^2+\frac{81}{t^2}$ trên $(- \infty ; 2]$