Chủ đề này có 7 trả lời

[Zaraki]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

$x^2+xy+y^2=x^2y^2$

Mặc dù bài này được coi là hơi dễ, nhưng mọi người có thể tìm được nhiều cách giải khác nhau không, cảm ơn nhiều!

[NguyThang khtn]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

$x^2+xy+y^2=x^2y^2$

Mặc dù bài này được coi là hơi dễ, nhưng mọi người có thể tìm được nhiều cách giải khác nhau không, cảm ơn nhiều!

Cách 1 : mới ngĩ ra!
Ta có:
$x^2+xy+y^2=x^2y^2$
$ \Leftrightarrow 4( x^2+xy+y^2)=4x^2y^2$
$ \Leftrightarrow(2x+2y)^2=(2xy+1)^2-1$
$ \Leftrightarrow(2x+2y)^2-(2xy+1)^2=1$
Tới đây PT tích là ra!

[keichan_299]

mình nghĩ cách này ko bít đúng ko


Giả sử $ |x| \leq |y| \Rightarrow x^2.y^2=x^2+xy+y^2 \leq 3 y^2$
TH1: y=0 thì x=0
TH2: y khác 0 thì $ x^2 \leq 3$
mà x nguyên nên x=1.hoặc x=-1
vậy nghiệm nguyên x=0, y=0 và x=1, y=-1 , x=-1,y=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi keichan_299: 11-08-2011 - 11:15

[Zaraki]

Cách 1: của anh bboy114crew, xin bổ sung thêm nốt cuối
$ \Leftrightarrow (2xy+1+2x+2y)(2xy+1-2x-2y)=1$


Cách 2: của anh keichan_299, ta nên giả sử $|x| \le |y|$ không nên giả sử $|x| \le |y|$ vì $x,y$ là số nguyên mà!
TH2: Anh đã giải đến chỗ $x^2 \le 3$ mà $x$ nguyên thì $x = \pm 1$ chớ, đâu phải chắc $1$.

Chỉnh sửa xong hai lời giải, tốt đẹp nhỉ! Ai nghĩ ra cách khác không?

[keichan_299]

Cách 1: của anh bboy114crew, xin bổ sung thêm nốt cuối
$ \Leftrightarrow (2xy+1+2x+2y)(2xy+1-2x-2y)=1$
Cách 2: của anh keichan_299, ta nên giả sử $|x| \le |y|$ không nên giả sử $|x| \le |y|$ vì $x,y$ là số nguyên mà!
TH2: Anh đã giải đến chỗ $x^2 \le 3$ mà $x$ nguyên thì $x = \pm 1$ chớ, đâu phải chắc $1$.

Chỉnh sửa xong hai lời giải, tốt đẹp nhỉ! Ai nghĩ ra cách khác không?

Hic, chị là con gái mà ^^ không phải con trai đâu.
Thanks e đã sửa giúp chị

Mình nghĩ ra cách này, chả bít thế nào nữa

Đặt $ a = x + y, b = xy$ (a,b nguyên)
Phương trình có dạng:

$ b^2 + b - a^2 = 0 $

Để ẩn b có nghiệm nguyên thì $ \Delta$ phải là 1 số chính phương.

Đặt $ 4a^2+1=k^2 ( k \in N) \Leftrightarrow (k-2a)(k+2a)=1 \Rightarrow a=0$

Thay vào thấy b = 0 hoặc b = -1

Từ đó tính ra ^^

Mình thấy cách này hơi dài Dài hơn cách của Thắng ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 11-08-2011 - 20:59

[trangCT]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

$x^2+xy+y^2=x^2y^2$

Mặc dù bài này được coi là hơi dễ, nhưng mọi người có thể tìm được nhiều cách giải khác nhau không, cảm ơn nhiều!

Bài này nhiều cách lắm, trong cuốn phương trình và bài toán với nghiệm nguyên có nêu ,nó có trong đề chuyên toán Lam Sơn năm nay. tớ làm cách mà tớ tự nghĩ thôi nha

$x^2+xy+y^2=x^2y^2$

$\Leftrightarrow (x+y)^2=xy(xy+1)$

Tích của 2 số nguyên liên tiếp là một số chính phương nên một trong hai số bằng 0.
Nếu $ xy = 0$ thì $ x+y=0 \Rightarrow x=y=0$
Nếu $ xy+1=0$ thì $ xy=-1, x + y=0 \Rightarrow x=1, y=-1$ hoặc $x=-1,y=1 $
Nghiệm phương trình là $ (0; 0), (1; -1), (-1; 1)$

trangCT: Đầu dòng nhớ viết hoa bạn nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trangCT: 13-08-2011 - 22:03

[NguyThang khtn]

$ \Leftrightarrow(2x+2y)^2=1+(2xy+1)^2$

Giờ mới để ý!
Hai số chính phương liên tiếp nên có 1 số = 0

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

$x^2+xy+y^2=x^2y^2$

Mặc dù bài này được coi là hơi dễ, nhưng mọi người có thể tìm được nhiều cách giải khác nhau không, cảm ơn nhiều!

Mình cũng xin đóng góp thêm 1 cách
$ PT \Leftrightarrow 4x^2+4xy+4y^2 = 4x^2y^2 \Leftrightarrow (2x + y)^2=y^2(4x^2-3) $
Nếu y=0 thì dễ thấy (0;0) là 1 nghiệm
Xét $ y \neq 0 $ thì $ 4x^2-3 $ phải là số chính phương .
Điều này có được khi và chỉ khi x=1 hoặc x=-1
Từ đây dễ suy ra những nghiệm còn lại
Đã xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 11-08-2011 - 21:00