Chủ đề này có 22 trả lời

[CD13]

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN $y = sin^5x+\sqrt{3}cosx$
Bài 2: Giải hệ:
$1)\left\{ \begin{matrix} x = y(4 - y) \\ y = z(4 - z) \\ z = (4 - x)x \\ \end{matrix} \right.$
$2)\left\{ \begin{matrix} 2x + x^2 y = y \\ 2y + y^2 z = z \\ 2z + z^2 x = x \\ \end{matrix} \right.$
Bài 3: Giải phương trình: $sin x . sin 2x + sin 5x = 6 cos^3 x$

P/s: Đây là các bài chưa thấy lời giải ở trang 9. Các ngày sau chúng ta sẽ tiếp tục với các bài chưa có lời giải ở các trang tiếp theo

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 27-08-2011 - 22:55

[CD13]

Sau đây là những bài tiếp theo. Các bạn chém đi.
Bài 4:
Tìm $a,b,c$ để bpt sau đúng với $ \forall |x| \leq 1$:
$|4x^3+ax^2+bx+c|\leq 1$
Bài 5:
Giải phương trình: $2 \sqrt{2x+4}+4 \sqrt{x-2} = \sqrt{9x^2+16} $
Bài 6:
Giải phương trình: $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x=\sqrt{5}^x$
Bài 7:
Giải Phương Trình:
1/
2/

P/S: Đây là các bài chưa có lời giải ở trang 8. Mọi người chém đi chứ!

[Crystal]

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN $y = sin^5x+\sqrt{3}cosx$
Bài 2: Giải hệ:
$1)\left\{ \begin{matrix} x = y(4 - y) \\ y = z(4 - z) \\ z = (4 - x)x \\ \end{matrix} \right.$
$2)\left\{ \begin{matrix} 2x + x^2 y = y \\ 2y + y^2 z = z \\ 2z + z^2 x = x \\ \end{matrix} \right.$
Bài 3: Giải phương trình: $sin x . sin 2x + sin 5x = 6 cos^3 x$

P/s: Đây là các bài chưa thấy lời giải ở trang 9. Các ngày sau chúng ta sẽ tiếp tục với các bài chưa có lời giải ở các trang tiếp theo

Bài 2.1 có dạng hoán vị vòng quanh nên dễ dàng suy ra x = y = z.

Khi đó thay vào 1 trong 3 PT của hệ ta được: $x = x\left( {4 - x} \right) \Leftrightarrow x\left( {3 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,\,\,x = 3$.

Vậy HPT đã cho có nghiệm là $\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;0} \right),\,\,\,\,\left( {3;3;3} \right)$

Bài 2.2 đã có lời giải ở đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 30-08-2011 - 11:45

[Crystal]

[size=4][font=Times New Roman]Sau đây là những bài tiếp theo. Các bạn chém đi.
Bài 6:
Giải phương trình: $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x=\sqrt{5}^x$

Bài 6 đã.
Chia 2 vế của PT cho ${\left( {\sqrt 5 } \right)^x} \ne 0$, ta được: ${\left( {\dfrac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^x} = 1$

Do ${\left( {\dfrac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^x}.{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^x} = \dfrac{1}{{{5^x}}} \Rightarrow {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^x} = \dfrac{1}{{{5^x}}}{\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}} \right)^x}$

Đặt: $t = {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^x} \Rightarrow {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^x} = \dfrac{1}{{{5^x}.t}}\,\,\,\,\left( {t > 0} \right)$

Khi đó PT trở thành: $\dfrac{1}{{{5^x}.t}} + t = 1 \Leftrightarrow {5^x}.{t^2} - {5^x}.t + 1 = 0$. Giải PT này rồi kết luận.

[Crystal]

[size=4][font=Times New Roman]Sau đây là những bài tiếp theo. Các bạn chém đi.
Bài 4:
Tìm $a,b,c$ để bpt sau đúng với $ \forall |x| \leq 1$:
$|4x^3+ax^2+bx+c|\leq 1$

Thử bài 4 không biết đúng hay sai.

Đặt: $f\left( x \right) = 4{x^3} + a{x^2} + bx + c$

Ta có:
$f\left( { - 1} \right) = - 4 + a - b + c \Rightarrow \left| {f\left( { - 1} \right)} \right| \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le - 4 + a - b + c \le 1\,\,\,(1)$

$f\left( 0 \right) = c \Rightarrow \left| {f\left( 0 \right)} \right| \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le c \le 1\,\,\,(2)$

$f\left( 1 \right) = 4 + a + b + c \Rightarrow \left| {f\left( 1 \right)} \right| \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le 4 + a + b + c \le 1\,\,\,(3)$

Từ (1) và (3) $ \Rightarrow - 1 \le a + c \le 1\,\,\,\,(4)$

Từ (2) và (4) $ \Rightarrow a = 0$. Thay vào (1) ta được: $ - 1 \le 4 + b + c \le 1\,\,\,(5)$

Từ (2) và (5) $ \Rightarrow 4 + b = 0 \Leftrightarrow b = - 4$.

Vậy $a = 0,\,\,b = - 4,\,\,c \in \left[ { - 1;1} \right]\,:\,\,\left| {f\left( x \right)} \right| \le 1\,\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]$.

[Crystal]

Một bài mở rộng cho bài 2.1:
Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình: $1)\left\{ \begin{matrix} x = y(4 - y) \\ y = z(4 - z) \\ z = x.(4 - x) \\ \end{matrix} \right.$. Tìm tất cả các giái trị mà S = x + y + z có thể nhận được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 31-08-2011 - 22:31

[Crystal]

Mình nghĩ bài 3 phải thế này mới đúng. Giải phương trình: $sin x . sin 2x + sin 3x = 6 cos^3 x$ (1)

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sin x\left( {2\sin x\cos x} \right) + 3\sin x - 4{\sin ^3}x = 6{\cos ^3}x$

$ \Leftrightarrow 4{\sin ^3}x - 3\sin x - 2{\sin ^2}x\cos x + 6{\cos ^3}x = 0\,\,\,(2)$

Nếu cosx = 0 là nghiệm của (2) thì:

$\left\{ \begin{array}{l}\cos x = 0\\4{\sin ^3}x - 3\sin x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\sin x = \pm 1\\4{\sin ^3}x - 3\sin x = 0\end{array} \right. \Rightarrow $ vô lý.

Chia 2 vế của (2) cho ${\cos ^3}x \ne 0$ ta được:

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow t{g^3}x - 2t{g^2}x - 3tgx + 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {tgx - 2} \right)\left( {t{g^2}x - 3} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}tgx = 2 = tg\alpha \\tgx = \pm \sqrt 3 = \pm tg\dfrac{\pi }{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,,\,\,\,k \in Z$.

[CD13]

Còn một số bài chưa được giải kìa.
Tiếp theo là các bài trang 7:

Bài 8: (của thaydoip1) Giải phương trình: $3x^2+11x-1=13\sqrt{2x^3+2x^2+x-1}$
Bài 9 (của mileycyrus) Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} 14{x^2} - 21{y^2} - 6x + 45y - 14 = 0 \\ 35{x^2} + 28{y^2} + 41x - 122y + 56 = 0 \\ \end{array} \right.$
Trang này đa số các bài được giải hết rồi.

P/s: À, mà lật lại các trang cũ mới thấy những nick: PTH_Thái Hà, Ho pham thieu, inhtoan, dehin,... giờ sao không thấy nữa. Hay là sau một thời gian hăng say đã trở nên nhàm chán!?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 06-09-2011 - 10:45

[Crystal]

[size=4][font=Times New Roman]Sau đây là những bài tiếp theo. Các bạn chém đi.
Bài 5:
Giải phương trình: $2 \sqrt{2x+4}+4 \sqrt{x-2} = \sqrt{9x^2+16} $ (1)

Giải:

ĐK: $ \ge 2$

Đặt: $t = \sqrt {2\left( {{x^2} - 4} \right)} \ge 0$

Lúc đó: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4\left( {2x + 4} \right) + 16\sqrt {2\left( {{x^2} - 4} \right)} + 16\left( {x - 2} \right) = 9{x^2} + 16$

$ \Leftrightarrow 8\left( {{x^2} - 4} \right) + 16\sqrt {2\left( {{x^2} - 4} \right)} = 17{x^2} - 24x$

Phương trình trở thành: $4{t^2} + 16t - 17{x^2} + 24x = 0$. Giải phương trình với ẩn t, ta tìm được x. Bài này nghiệm qua lẻ. Mình sửa lại thế này kết quả sẽ đẹp hơn.

* Giải phương trình: $2 \sqrt{2x+4}+4 \sqrt{2-x} = \sqrt{9x^2+16} $ (2)

ĐK: $\left| x \right| \le 2$

Đặt: $t = \sqrt {2\left( {4 - {x^2}} \right)} \ge 0$

Lúc đó: $\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4\left( {2x + 4} \right) + 16\sqrt {2\left( {4 - {x^2} } \right)} + 16\left( {x - 2} \right) = 9{x^2} + 16$

$ \Leftrightarrow 8\left( {4 - {x^2} } \right) + 16\sqrt {2\left( {4 - {x^2} } \right)} = {x^2} + 8x$

Phương trình trở thành: $4{t^2} + 16t - {x^2} - 8 x = 0$. Giải phương trình với ẩn t ta tìm được: ${t_1} = \dfrac{x}{2};\,\,{t_2} = - \dfrac{x}{2} - 4$

Do $\left| x \right| \le 2$ nên ${t_2} < 0$ không thỏa mãn điều kiện $t \ge 0$.

Với ${t_1} = \dfrac{x}{2}:\,\,\sqrt {2\left( {4 - {x^2}} \right)} = \dfrac{x}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 0\\8\left( {4 - {x^2}} \right) = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}$ ( thỏa đk).

Vậy phương trình (2) có nghiệm là $x = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}$.

[Crystal]

Còn một số bài chưa được giải kìa.
Tiếp theo là các bài trang 7:
Bài 9 (của mileycyrus) Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} 14{x^2} - 21{y^2} - 6x + 45y - 14 = 0 \\ 35{x^2} + 28{y^2} + 41x - 122y + 56 = 0 \\ \end{array} \right.$
Trang này đa số các bài được giải hết rồi.

P/s: À, mà lật lại các trang cũ mới thấy những nick: PTH_Thái Hà, Ho pham thieu, inhtoan, dehin,... giờ sao không thấy nữa. Hay là sau một thời gian hăng say đã trở nên nhàm chán!?

Gợi ý:
Ta có nhận xét: Nghiệm của hệ phương trình được chia làm hai nhóm (0 ; y) và ( x; tx), x#0.

$HPT \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}14{x^2} - 21{y^2} - 6x + 45y = 14\\35{x^2} + 28{y^2} + 41x - 122y = - 56\end{array} \right.$ (1)

* Ta tìm nghiệm dạng ( 0; y)

Ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- 21{y^2} + 45y = 14\\28{y^2} - 122y = - 56\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {vn} \right)$. Tức hệ không có nghiệm dạng ( 0; y).

* Ta tìm nghiệm dạng ( x; tx), x#0.

Ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7\left( {2 - 3{t^2}} \right){x^2} - 3\left( {2 - 15t} \right)x = 14\\7\left( {5 + 4{t^2}} \right){x^2} + \left( {41 - 122t} \right)x = - 56\end{array} \right.$

Ta xem là hệ tuyến tính theo 2 ẩn ${x^2}$ và x.

Ta tính các định thức $D;\,\,{D_x};\,\,{D_{{x^2}}}$ rồi biện luận theo t ta sẽ tìm được nghiệm x và y của hệ phương trình (1).

[CD13]

Còn bài 1 anh em chém đi, sao để nó sống hoài vậy!
Bài 9 nhìn hướng dẫn của xusinst thấy mà rối!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 07-09-2011 - 13:26

[Crystal]

Còn bài 1 anh em chém đi, sao để nó sống hoài vậy!
Bài 9 nhìn hướng dẫn của xusinst thấy mà rối!

ongtroi có cách nào khác hay về bài 9 post lên mình tham khảo với nhé.

[CD13]

ongtroi có cách nào khác hay về bài 9 post lên mình tham khảo với nhé.

Có thể giải theo một cách khùng điên như thế này không nhỉ?

Nhận thấy hệ phương trình có một nghiệm x = 1; y = 2.
Như vậy xem phương trình (1), (2) lần lượt là 2 phương trình bậc hai theo x. Để cả hai pt đều có nghiệm x = 1 thì tổng các hệ số của hai pt sẽ bằng 0.
Tức là:
$\\ \left\{\begin{array}{l}28y^2-122y+132=0\\ -21y^2+45y-6=0 \end{array}\right.$

Ta thấy hệ này chỉ cho nghiệm y = 2.
Vậy hệ phương trình chỉ có nghiệm duy nhất (1; 2)

?????????????????
Hy vọng được chỉ bảo thêm!

[CD13]

Tiếp tục

Bài 10: (Tinh Quang)
Giải phương trình: $(4^x + 2)(2 - x) = 6$

Bài 11: (Truongthainguyen)
Cho n là số tự nhiên. Chứng minh:$\dfrac{ 1}{2}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+........+\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{2}} <2$

Bài 12: (Messi ndt)
Cho phương trình: $ x^{4}+a x^{3} +b x^{2}+cx+1=0.$ có nghiệm
Chứng minh rằng: $ \sum_{cyc} a^{2} \geq 4/3 $

Bài 13: (hoangnbk)
Cho cấp số cộng $ u_1, u_2, u_3, u_4 $ Chứng minh rằng nếu $ |u_1 . u_4 - u_2 . u_3| \leq 6 $ thì biểu thức
$ A= \sqrt{(x-u_1)(x-u_2)(x-u_3)(x-u_4) + 9} $ có nghĩa với mọi x.

P/s: Thấy topic này ít người tham gia quá, chỉ có xusinst là nhiệt tình! Hoan nghênh!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 08-09-2011 - 15:46

[Crystal]

Bài 10: $PT \Leftrightarrow \dfrac{6}{{{4^x} + 2}} + x - 2 = 0$

Xét hàm số: $f\left( x \right) = \dfrac{6}{{{4^x} + 2}} + x - 2 \Rightarrow f'\left( x \right) = - \dfrac{{{{6.4}^x}\ln 4}}{{{{\left( {{4^x} + 2} \right)}^2}}} + 1$

$ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {6.4^x}\ln 4 = {\left( {{4^x} + 2} \right)^2}$. Đây là phương trình bậc hai theo ${{4^x}}$, nên có không quá 2 nghiệm.

Vậy theo định lý Roolle phương trình f (x) = 0 có không quá 3 nghiệm.

Ta có: $f\left( 0 \right) = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = f\left( 1 \right) = 0$. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là $x \in \left\{ {0;\dfrac{1}{2};1} \right\}$.

Bài 12: Giả sử ${x_0}$ là một nghiệm của phương trình đã cho thì: $x_0^4 + ax_0^3 + bx_0^2 + c{x_0} + 1 = 0$

$ \Rightarrow - \left( {x_0^4 + 1} \right) = ax_0^3 + bx_0^2 + c{x_0} \Rightarrow {\left( {x_0^4 + 1} \right)^2} = {\left( {ax_0^3 + bx_0^2 + c{x_0}} \right)^2}$

Theo Bunhiacopski, ta có: ${\left( {x_0^4 + 1} \right)^2} = {\left( {ax_0^3 + bx_0^2 + c{x_0}} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2} + c{}^2} \right)\left( {x_0^6 + x_0^4 + x_0^2} \right)$

$ \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {x_0^4 + 1} \right)}^2}}}{{x_0^6 + x_0^4 + x_0^2}} \le {a^2} + {b^2} + c{}^$

Ta sẽ chứng minh: $\dfrac{{{{\left( {x_0^4 + 1} \right)}^2}}}{{x_0^6 + x_0^4 + x_0^2}} \ge \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {\left( {x_0^2 - 1} \right)^2}\left( {3x_0^4 + 2x_0^2 + 3} \right) \ge 0$ luôn đúng.

Do đó: $\sum\limits_{cyc} {{a^2}} \ge \dfrac{4}{3}$ đpcm.

[NGOCTIEN_A1_DQH]

bài 1 đã từng là đề thi dự bị đại học năm 2002 thì phải, có thể xem lời giải của nó ở day
p/s:
bài đấy có lời giải ở trang 84 trong cái tập tài liệu tổng hợp ở chỗ đó, các bạn chịu khó tìm nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 08-09-2011 - 21:19

[CD13]

bài 1 hình như là đề dự bị đại học thì phải

Nguồn gốc các bài này thì ongtroi cũng chẳng biết nhưng nó là những bài toán cũ được các mem gửi lên diễn đàn từ lâu mà không thấy lời giải. Nay ongtroi chỉ tập hợp chúng lại theo chuyên đề (Đại số và LG) để các bạn khác tiện theo dõi và giải chúng. Hy vọng công việc này sẽ làm phong phú thêm bài tập vốn đã ít và rời rạc trên diễn đàn mà thôi! Các bạn ủng hộ nhiệt tình!

P/S: Đúng rồi Bài 1 là đề dự bị 2 khối B năm 2003 và bài toán chỉ yêu cầu tìm GTLN chứ không có GTNN như bài toán đã nêu.
NGOCTIEN_A1_DQH có thể post lời giải lên dùm ongtroi nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 08-09-2011 - 21:54

[h.vuong_pdl]

Còn bài 1 anh em chém đi, sao để nó sống hoài vậy!
Bài 9 nhìn hướng dẫn của xusinst thấy mà rối!

ongtroi có cách nào khác hay về bài 9 post lên mình tham khảo với nhé.

Có thể giải theo một cách khùng điên như thế này không nhỉ?

Nhận thấy hệ phương trình có một nghiệm x = 1; y = 2.
Như vậy xem phương trình (1), (2) lần lượt là 2 phương trình bậc hai theo x. Để cả hai pt đều có nghiệm x = 1 thì tổng các hệ số của hai pt sẽ bằng 0.
Tức là:
$\\ \left\{\begin{array}{l}28y^2-122y+132=0\\ -21y^2+45y-6=0 \end{array}\right.$

Ta thấy hệ này chỉ cho nghiệm y = 2.
Vậy hệ phương trình chỉ có nghiệm duy nhất (1; 2)

?????????????????
Hy vọng được chỉ bảo thêm!

Bài này, mình có 1 pp mới do mình nghiêm ra như sau:

Đặt $x = a+1, y = b+2$, ta có hệ phuơng trình tuơng đuơng sau:

$\left\{\begin{array}{l}14(a+1)^2 -21(b+2)^2-6(a+1) + 45(b+2) -14 = 0\\ 35(a+1)^2+28(b+2)^2+41(a+1) - 122(b+2) + 56 = 0\end{array}\right. \\. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}14a^2-21b^2+22a-39b=0\\35a^2+28b^2+111a-10b=0\end{array}\right. $

Đến đây nhận rõ là hpt đẳng cấp, khi đặt a=bt thì tìm ra ngay a=b=0 hoặc a=3b.

Thay vào giải ra các nghiệm của hpt/!

[h.vuong_pdl]

@@@ anh Ongtroi: lâu lắm rồi mới thấy anh tái xuất

Em rất ủng hộ topic này, em cũng định lập ra nó lâu rồi, nhưng quả thật, lên 12 rồi nên khá bận, ko làm được.

Rất mong anh tiếp tục theo dõi + cập nhất hàng ngày. Em sẽ cố gắng theo dõi ak.!

Thanks mọi người!

[CD13]

Chúng ta còn các bài 1, 8, 11, 13 chưa được giải. Anh em có lời giải thì post lên để tiện sau này tổng hợp tài liệu.

Tiếp các bài sau:

Bài 14: (ASE)
Giải phương trình:$sin4x+sin3x+3sinx=2+cos2x+sin2x+cos3x$

Bài 15: (ASE)
Gọi a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC và $l_a$ là độ dài đường phân giác trong góc A. Tìm GTLN của $A=\sqrt{\dfrac{2a}{b+c}}+\dfrac{\sqrt{l_a}}{ \sqrt[4]{bc}}$

Bài 16: (supermember)
Giải pt lượng giác: $ \sqrt{3} sin x ( cos x - sin x ) + ( 2 - \sqrt{6} ) cos x + 2sin x + \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} \ = \ 0$.

Bài 17: (Nguyen Ngoc Than)
Giải pt: $ \sqrt{3-x}+\sqrt{2+x}= x^3 + x^2 - 4x - 1 $

@ h.vuong_pdl: Cám ơn em đã trình bày lời giải bài 9 sáng sủa!