Chủ đề này có 2 trả lời

[caubeyeutoan2302]

Định nghĩa: Chuỗi $ \gamma(z)=1+\dfrac{1}{2^z}+\dfrac{1}{3^z}+...................+\dfrac{1}{n^z}+............$ được gọi là hàm Zeta


Sử dụng hàm Zeta , hãy chứng minh : $ \gamma(2)=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...........+\dfrac{1}{n^2}+.......=\dfrac{\pi^2}{6}$

[Crystal]

Định nghĩa: Chuỗi $ \gamma(z)=1+\dfrac{1}{2^z}+\dfrac{1}{3^z}+...................+\dfrac{1}{n^z}+............$ được gọi là hàm Zeta
Sử dụng hàm Zeta , hãy chứng minh : $ \gamma(2)=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...........+\dfrac{1}{n^2}+.......=\dfrac{\pi^2}{6}$

Ta có các nhận xét:

* Nếu đa thức $P\left( x \right) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}\,\,\left( {{a_0} \ne 0,\,{a_n} \ne 0} \right)$ có các nghiệm ${x_1};{x_2};...;{x_n} \in {R^*}$ thì

$P\left( x \right) = {a_n}\left( {1 - \dfrac{x}{{{x_1}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{x}{{{x_2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{x}{{{x_n}}}} \right)\,\,\,\,\,\,(1)$

* $\sin x = x - \dfrac{{{x^3}}}{{3!}} + \dfrac{{{x^5}}}{{5!}} + ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\dfrac{{{x^{2n - 1}}}}{{\left( {2n - 1} \right)!}} + ...\,\,\,\,(2)$

* Hàm số $\dfrac{{\sin x}}{x}$ có vô số nghiệm thuộc ${R^*}$ là ${x_{ \pm n}} = \pm n\pi ,\,\,\,n \in {N^*}$

Mở rộng (1):

$\dfrac{{\sin x}}{x} = \prod\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left( {1 - \dfrac{x}{{n\pi }}} \right)} \left( {1 + \dfrac{x}{{n\pi }}} \right) = \prod\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{{n^2}{\pi ^2}}}} \right)\,\,\,\,(3)} $

Hệ số của ${x^2}$ ở vế phải của (3) là

$ - \dfrac{1}{{{\pi ^2}}} - \dfrac{1}{{{2^2}{\pi ^2}}} - ... - \dfrac{1}{{{n^2}{\pi ^2}}} - ... = - \dfrac{1}{{{\pi ^2}}}\gamma (2)\,\,\,\,\,(4)$

Từ (2), hệ số của ${x^2}$ trong khai triển của $\dfrac{{\sin x}}{x}$ là $ - \dfrac{1}{{3!}} = - \dfrac{1}{6}$

Từ đó và từ (4) ta được:

$\gamma (2) = 1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{n^2}}} + ... = \sum {\dfrac{1}{{{n^2}}}} = \dfrac{{{\pi ^2}}}{6}$.

[caubeyeutoan2302]

Thật ấn tượng khi xusinst giải ra 1 mệnh đề khó vậy trong 1 thời gian ngắn , Thanks nhiều nha , vậy thì tớ tin chắc cậu cũng có thể giải được bài " Tổ hợp vui" phía dưới rồi