Chủ đề này có 4 trả lời

[dark templar]

Bài toán:Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn:$a+b+c>0$.Tìm GTLN và GTNN của:
$$H=\dfrac{a}{a+\sqrt{2(b^2+c^2)}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{2(a^2+c^2)}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{2(a^2+b^2)}}$$

[loc3222]

Bài toán:Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn:$a+b+c>0$.Tìm GTLN và GTNN của:
$$H=\dfrac{a}{a+\sqrt{2(b^2+c^2)}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{2(a^2+c^2)}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{2(a^2+b^2)}}$$

Chỉ cần áp dụng AM-GM như sau:
$$\sqrt{2(b^2+c^2)} \geq b+c$$
$$\sqrt{2(c^2+a^2)} \geq c+a$$
$$\sqrt{2(a^2+b^2)} \geq a+b$$
Suy ra $$H \leq 1$$. Còn min thì... ehmmm, có thể là không có, để hiền đệ nghĩ giùm.

[Crystal]

Chỉ cần áp dụng AM-GM như sau:
$$\sqrt {2({b^2} + {c^2})} \ge b + c$$

Đó đâu phải là BĐT AM-GM bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 08-10-2011 - 20:19

[dark templar]

Chỉ cần áp dụng AM-GM như sau:
$$\sqrt{2(b^2+c^2)} \geq b+c$$
$$\sqrt{2(c^2+a^2)} \geq c+a$$
$$\sqrt{2(a^2+b^2)} \geq a+b$$
Suy ra $$H \leq 1$$. Còn min thì... ehmmm, có thể là không có, để hiền đệ nghĩ giùm.

Bài này có GTNN đó bạn.Gợi ý:GTNN đạt được khi $a=b;c=0$ hay các hoán vị tương ứng.

[dark templar]

Hôm nay mình sẽ cung cấp lời giải cho bài này
Ta sẽ chứng minh GTNN của $H$ là $\frac{2}{1+\sqrt{2}}$,tức là $H \ge \frac{2}{1+\sqrt{2}}$.
Theo BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
$$H \ge \frac{(a+b+c)^2}{\sum a\left[a+\sqrt{2(b^2+c^2)} \right]}$$
Như vậy,ta chỉ cần chứng minh:
$$ \frac{(a+b+c)^2}{\sum a\left[a+\sqrt{2(b^2+c^2)} \right]} \ge \frac{2}{1+\sqrt{2}}$$
Hay:
$$\sum a^2 +\sqrt{2}\sum \left(a\sqrt{b^2+c^2} \right) \le \frac{\sqrt{2}+1}{2}(a+b+c)^2$$
Xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: $a^2+b^2+c^2 \ge 2(ab+bc+ca)$
Do $b^2+c^2 \le (b+c)^2$ nên:
$$\sum \left(a\sqrt{b^2+c^2} \right) \le \sum a(b+c)=2(ab+bc+ca)$$
Như vậy,ta chỉ cần chứng minh:
$$\sum a^2 +2\sqrt{2}\sum ab \le \frac{\sqrt{2}+1}{2}(a+b+c)^2$$
Hay:
$$a^2+b^2+c^2 \ge 2(ab+bc+ca)$$

Trường hợp 2: $a^2+b^2+c^2 \le 2(ab+bc+ca) \Rightarrow \sum a^2 \le \frac{1}{2}\left(\sum a \right)^2$
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
$$\left[\sum \left(a\sqrt{b^2+c^2} \right) \right]^2 \le \left(\sum a \right)\left[\sum a(b^2+c^2) \right]$$
Lại có theo BĐT Schur,ta có:
$$\sum a(b^2+c^2) \le \frac{1}{4}\left[\left(\sum a \right)^3-3abc \right] \le \frac{1}{4}\left(\sum a \right)^3$$
Suy ra:
$$\sum \left(a\sqrt{b^2+c^2} \right) \le \frac{1}{2}\left(\sum a \right)^2$$
Vậy:
$$\sum a^2 +\sqrt{2}\sum \left(a\sqrt{b^2+c^2} \right) \le \frac{1}{2}\left(\sum a \right)^2+\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sum a \right)^2=\frac{\sqrt{2}+1}{2}\left(\sum a \right)^2$$.
Xong .Đẳng thức xảy ra khi $a=b;c=0$ hoặc các hoán vị tương ứng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 25-01-2012 - 11:37