Chủ đề này có 3 trả lời

[minhson95]

tìm tất cả giá trị mà tổng S = x + y + z có thể nhận được với x, y, z là nghiệm của hệ 3 PT sau:
$ (1) x = y(4 - y) $
$ (2) y = z(4 - z) $
$ (3) z = x(4 - x) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 14-10-2011 - 12:07

[Crystal]

tìm tất cả giá trị mà tổng S = x + y + z có thể nhận được với x, y, z là nghiệm của hệ 3 PT sau:
$ (1) x = y(4 - y) $
$ (2) y = z(4 - z) $
$ (3) z = x(a - x) $

Giả sử $\left( {x;y;z} \right)$ là một nghiệm đã cho. Cộng các vế PT của hệ ta được: $3S = {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 0 \Rightarrow S \ge 0$

Suy ra trong 3 số $x,y,z$ có ít nhất một số không âm, giả sử $x \ge 0$. Từ $\left( 1 \right):y\left( {4 - y} \right) = x \ge 0 \Rightarrow 0 \le y \le 4$. Bằng phép hoán vị vòng quanh, suy ra $0 \le x,y,z \le 4$.

Đặt: $x = 4{\sin ^2}\alpha ;\,\,\alpha \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$. Từ $\left( 3 \right) \Rightarrow z = 4{\sin ^2}\alpha \left( {4 - 4{{\sin }^2}\alpha } \right) = 16{\sin ^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 4{\sin ^2}2\alpha $

và $\left( 2 \right) \Rightarrow y = 4{\sin ^2}2\alpha \left( {4 - 4{{\sin }^2}2\alpha } \right) = 4{\sin ^2}4\alpha ;\,\,\,\left( 1 \right) \Rightarrow x = 4{\sin ^2}4\alpha \left( {4 - 4{{\sin }^2}4\alpha } \right) = 4{\sin ^2}8\alpha $

Do đó $\alpha $ là nghiệm của phương trình: ${\sin ^2}8\alpha = {\sin ^2}\alpha \Leftrightarrow c{\rm{os}}16\alpha = c{\rm{os}}2\alpha $. Suy ra

* $16\alpha = 2\alpha + 2k\pi \Rightarrow \alpha = \dfrac{{k\pi }}{7}\,\,\left( {k \in Z} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]} k = \left\{ {0,1,2,3} \right\}$

$i)$ $k = 0 \Rightarrow \alpha = 0 \Rightarrow S = x + y + z = 4\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\sin }^2}2\alpha + {{\sin }^2}4\alpha } \right) = 0$

$ii)\,\,\,k = 1,2,3 \Rightarrow S = x + y + z = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{7} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{7} + {{\sin }^2}\dfrac{{3\pi }}{7}} \right)$

* $16\alpha = - 2\alpha + 2k\pi \Rightarrow \alpha = \dfrac{{k\pi }}{9}\,\,\left( {k \in Z} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]} k = \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}$

$i)\,\,\,k = 0 \Rightarrow \alpha = 0 \Rightarrow S = x + y + z = 0$

$ii)\,\,\,k = 1,2,4 \Rightarrow S = x + y + z = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{9} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {{\sin }^2}\dfrac{{4\pi }}{9}} \right)$

$iii)\,\,\,k = 3 \Rightarrow S = x + y + z = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{3} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{3} + {{\sin }^2}\dfrac{{4\pi }}{3}} \right)$.

Vậy tổng $S$ có thể nhận trong một các giá trị sau: $S = 0 \Leftrightarrow x = y = z = 0;\,\,\,\,\,S = 9 \Leftrightarrow x = y = z = 3$

$$S = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{7} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{7} + {{\sin }^2}\dfrac{{3\pi }}{7}} \right);\,\,\,S = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{9} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {{\sin }^2}\dfrac{{4\pi }}{9}} \right);\,\,\,S = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{3} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{3} + {{\sin }^2}\dfrac{{4\pi }}{3}} \right)$$.

[minhson95]

xin lỗi nhé mình chép nhầm đề.
bạn coi lại đề cái. xong giúp mình làm với
Mình vừa sủa lại đề rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 14-10-2011 - 12:10

[Crystal]

xin lỗi nhé mình chép nhầm đề.
bạn coi lại đề cái. xong giúp mình làm với
Mình vừa sủa lại đề rồi

Bạn xem lời giải trên. Không thay đổi gì cả $\left( {a = 4} \right)$ .