Chủ đề này có 4 trả lời

[khoa94]

cho a, b, c > 0 thoa $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 3$ . CM:
$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geq \dfrac{4}{a^{2}+7}+\dfrac{4}{b^{2}+7}+\dfrac{4}{c^{2}+7}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 12-11-2011 - 23:53
TIÊU ĐỀ

[Crystal]

cho a, b, c > 0 thoa $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 3$ . CM:
$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geq \dfrac{4}{a^{2}+7}+\dfrac{4}{b^{2}+7}+\dfrac{4}{c^{2}+7}$$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $$\sum {\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 7}} + \sum {\dfrac{1}{{a + b}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{24}} + \dfrac{9}{{2\left( {a + b + c} \right)}}} } $$
Đặt $x = a + b + c \le \sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} = 3$. Ta chứng minh $\dfrac{{{x^2}}}{{24}} + \dfrac{9}{{2x}} \ge \dfrac{{15}}{8}$
Bất đẳng thức này tương đương

$\left( {x - 3} \right)\left( {x - \dfrac{{ - 3 + 3\sqrt {17} }}{2}} \right)\left( {x - \dfrac{{ - 3 - 3\sqrt {17} }}{2}} \right) \ge 0$ đúng do $x \le 3$

Do đó:$$\sum {\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 7}} + \sum {\dfrac{1}{{a + b}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{24}} + \dfrac{9}{{2\left( {a + b + c} \right)}}} } \ge \dfrac{{15}}{8}$$
$$ \Rightarrow \sum {\dfrac{1}{{a + b}} \ge } \dfrac{{15}}{8} - \sum {\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 7}} = } \sum {\dfrac{7}{{{a^2} + 7}} - \dfrac{9}{8}} $$
Ta cần chứng minh: $$\sum {\dfrac{7}{{{a^2} + 7}} - \dfrac{9}{8}} \ge \dfrac{4}{{{a^2} + 7}} \Rightarrow \sum {\dfrac{1}{{{a^2} + 7}} \ge \dfrac{3}{8}} $$
Bất đẳng thức trên đúng theo BĐT Cauchy-Schwarz:$$\sum {\dfrac{1}{{{a^2} + 7}} \ge \dfrac{9}{{\sum {{a^2} + 21} }} = \dfrac{3}{8}} $$
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c = 1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 03-11-2011 - 18:59

[khoa94]

hay qua nhung lam sao biet phai cong VT cho
$$\sum \dfrac{a^{2}}{a^{2}+7}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khoa94: 03-11-2011 - 19:30

[Crystal]

hay qua nhung lam sao biet phai cong VT cho
$$\sum \dfrac{a^{2}}{a^{2}+7}$$

Đó là lượng thích hợp để có thể áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và tận dụng được điều kiện của bài toán.

[Ispectorgadget]

Cách làm khác
$\dfrac{4}{a^2+a^2+b^2+c^2+4}=\dfrac{4}{2(a^2+1)+(b^2+1)+(c^2+1)}\leq \dfrac{4}{2a+2b+2a+2c}\leq \dfrac{1}{2(a+b)}+\dfrac{1}{2(b+c)}$
Làm tương tự rồi cộng lại ta có Đpcm