Chủ đề này có 4 trả lời

[nhoka2]

Cho x, y, z là 3 số dương thỏa: xy + yz + zx = xyz chứng minh:

$$\dfrac{1}{2x+y+z}+ \dfrac {1}{x+2y+z}+ \dfrac{1}{x+y+2z}\leqslant \dfrac {1}{4} $$

Nhân tiện cho em hỏi kiểu gõ latex của em sai chỗ nào vậy?
Thanks.

Mod: Kiểu gõ mới là kẹp công thức giữa 2 chữ $ bạn nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 04-11-2011 - 22:53

[Crystal]

cho x,y,z là 3 số dương thỏa: $xy + yz + zx = xyz$ chứng minh:
$$\dfrac{1}{2x+y+z}+ \dfrac {1}{x+2y+z}+ \dfrac{1}{x+y+2z}\leqslant \dfrac {1}{4}$$

Từ $$xy + yz + zx = xyz \Rightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 1$$
Sử dụng bất đẳng thức: $\dfrac{1}{{a + b}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right),\,\,\forall a,b > 0$, ta có:
$$\dfrac{1}{{2x + y + z}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}}} \right) \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z}} \right)} \right) = \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)$$
Chứng minh tương tự cho hai biểu thức còn lại, ta suy ra:
$$\dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{x + 2y + z}} + \dfrac{1}{{x + y + 2z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{y} + \dfrac{4}{z}} \right) = \dfrac{1}{4}$$
Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow x = y = z=1$

[phuonganh_lms]

Ta có $ \dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{1}{x+y+x+z} \le \dfrac{1}{4.(x+y)}+\dfrac{1}{4.(x+z)}$
Tương tự ...
Suy ra $VT\le \dfrac{1}{2}.(d\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{x+y})$
$ \dfrac{1}{x+z} \le \dfrac{1}{4x}+\dfrac{1}{4z}$
Tương tự như vậy ta có
$ \dfrac{1}{2}.(\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{x+y}) \le \dfrac{1}{4}$

[Ispectorgadget]

Cách khác
$=\dfrac{(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})^2}{x+y+x}\leq \dfrac{(\dfrac{1}{2})^2}{x+y}+\dfrac{(\dfrac{1}{2})^2}{x+z}$
\[
\dfrac{{(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4})^2 }}{{x + y}} + \dfrac{{(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4})^2 }}{{x + z}} \le \dfrac{{(\dfrac{1}{4})^2 }}{x} + \dfrac{{(\dfrac{1}{4})^2 }}{x} + \dfrac{{(\dfrac{1}{4})^2 }}{y} + \dfrac{{(\dfrac{1}{4})^2 }}{z} = \dfrac{1}{{16}}(\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z})
\]
Tương tự ta có
\[
\dfrac{1}{{x + 2y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{z});\dfrac{1}{{x + y + 2z}} \le \dfrac{1}{{16}}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{z})
\]

=> \[
VT \le \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) = 1/4
\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 04-11-2011 - 23:09

[Crystal]

Cách 2:
Theo AM-GM, ta có: $$2x + y + z = \left( {x + y} \right) + \left( {x + z} \right) \ge 2\left( {\sqrt {xy} + \sqrt {xz} } \right)$$
Do đó: $$\dfrac{1}{{2x + y + z}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {xy} + \sqrt {xz} }}} \right) \le \dfrac{1}{8}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {xy} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {xz} }}} \right)$$
Tương tự cho hai biểu thức còn lại. Cộng các BĐT đó vế theo vế ta được:
$$\dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{x + 2y + z}} + \dfrac{1}{{x + y + 2z}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {xy} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {yz} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {zx} }}} \right)$$
Lại theo AM-GM:$$1 = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x}} \right) \ge \dfrac{1}{{\sqrt {xy} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {yz} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {zx} }}$$
Từ đó ta suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow x = y = z = 1$.

Cách 3:
Áp dụng AM-GM cho 4 số thực dương:
$$\left( {x + x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \ge 16 \Rightarrow \dfrac{1}{{2x + y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)$$
Từ đây trở lại cách trên ta cũng có đpcm.

Cách 4:
Ta có: $$2x + y + z = x + x + y + z \ge 4\sqrt[4]{{x.x.y.z}} \Rightarrow \dfrac{1}{{2x + y + z}} \le \dfrac{1}{{4\sqrt[4]{{{x^2}yz}}}}$$
Mặt khác: $$\sqrt[4]{{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}.\dfrac{1}{z}}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \Rightarrow \dfrac{1}{{2x + y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)$$
Trở về cách trên.

------------------------------------------------------------

Mở rộng bài toán trên.
Cho $n$ số thực dương cho trước ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ thỏa mãn $\sum\limits_{i = 1}^n {{{\dfrac{1}{a}}_i}} = k,\,\,n > 1,\,\,k > 0$ cho trước. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{{{m_1}{a_1} + {m_2}{a_2} + ... + {m_n}{a_n}}} + \dfrac{1}{{{m_2}{a_1} + ... + {m_n}{a_{n - 1}} + {m_1}{a_n}}} + ... + \dfrac{1}{{{m_n}{a_1} + {m_1}{a_2} + ... + {m_{n - 1}}{a_n}}} \le \dfrac{k}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}} }}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 04-11-2011 - 23:28