Chủ đề này có 4 trả lời

[minhson95]

$ (x+1)(2+\sqrt{x^2+2x+4} ) - 2x(2+\sqrt{4x^2+3} )=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 06-11-2011 - 16:59

[E. Galois]

Xét hàm số:
$$f(t)=t\left ( 2+\sqrt{t^2+3} \right )$$
Ta có:
$$f'(t)=2+\sqrt{t^2+3} + \dfrac{t^2}{\sqrt{t^2+3}} > 0, \forall t$$
Do đó hàm số $f(t)$ đồng biến trên $R$
$$PT\Leftrightarrow f(x+1)=f(2x)\Leftrightarrow x+1=2x\Leftrightarrow x=1$$

[minhson95]

Xét hàm số:
$$f(t)=t\left ( 2+\sqrt{t^2+3} \right )$$
Ta có:
$$f'(t)=2+\sqrt{t^2+3} + \dfrac{t^2}{\sqrt{t^2+3}} > 0, \forall t$$
Do đó hàm số $f(t)$ đồng biến trên $R$
$$PT\Leftrightarrow f(x+1)=f(2x)\Leftrightarrow x+1=2x\Leftrightarrow x=1$$

đạo hàm hả bạn
nhưng mình chưa học đến
mình chắng hiểu gì cả
có cách khác không bạn chứ cách này mình không hiểu

[h.vuong_pdl]

Bài này đạo hàm là nhất rồi bạn ak.

Thực ra, để tránh dùng dạo hàm, bạn có thể đi theo hướng sau.

NHưng dù gì, bạn cũng phải nhận ra rằng 2 vế pt cùng một dạng như anh E.Galois phân tích trên.

KHi đó, đặt $a = x+1, b = 2x$ thì ta có phương trình đối xứng :

$a\left(2+\sqrt{a^2+3}\right) = b\left(2+\sqrt{b^2+3}\right) = 0 \Leftrightarrow (a-b)\left(.....\right) = 0$

đánh giá biểu thức trong ngoặc hoặc chọn theo cách sau:

Dễ thấy a, b phải cùng dấu, do đó: Nếu:

$a>b>0 thì a\left(2+\sqrt{a^2+3}\right) > b\left(2+\sqrt{b^2+3}\right)$

$0<a<b thì a\left(2+\sqrt{a^2+3}\right) < b\left(2+\sqrt{b^2+3}\right)$

................

Như vậy tóm lại là phải có $a = b \Leftrightarrow 2x = x+1 \Lefgtrightarrow x = 1$ thỏa màn!

[h.vuong_pdl]

Bạn có thể thấy rất tương tự ở một số ví dụ sau:

1) $3x\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right) + (4x+2)\left(\sqrt{1+x+x^2}+1\right)$

2) ( HS giỏi tỉnh Quang Ninh 2010 ):

$(5x-6)^2 -\dfrac{1}{\sqrt{5x-7}} = x^2-\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$

3) $x^3+3x^2+4x+2 = (3x+2)\sqrt{3x+1}$


@@@@: Lời giải trên cũng bắt nguôn từ ý tưởng đạo hàm, chứng minh hàm đòng biến ==> đánh giá!