Chủ đề này có 7 trả lời

[chemtoidy]

Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=1
Tìm GTLN của

$A=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$

[Devil25]

Theo bất đẳng thức Cô si có 2$x^2$y $\leq$ $x^4$+$y^2$ và tương tự với $y^2$z,$z^2$x
Vậy 2A $\leq$ ($x^2$+$y^2$+$z^2$)+($x^4$+$y^4$+$z^4$).Có nhận xét rằng 0 $\leq$ x $\leq$ 1 do đó $x^2$ $\leq$ x và $x^4$ $\leq$ x<1>
Từ <1> làm tương tự với y,z được $x^2$+$y^2$+$z^2$ $\leq$ x+y+z=1 và $x^4$+$y^4$+$z^4$ $\leq$ x+y+z=1(dẫu bằng xảy ra khi có 1 số=1 và 2 số còn lại =0)
Vậy 2A đạt GTLN=2 hay A đạt GTLN=1 khi và chỉ khi 1 trong 3 số x,y,z=1 và 2 số còn lại =0

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Theo bất đẳng thức Cô si có 2$x^2$y $\leq$ $x^4$+$y^2$ và tương tự với $y^2$z,$z^2$x
Vậy 2A $\leq$ ($x^2$+$y^2$+$z^2$)+($x^4$+$y^4$+$z^4$).Có nhận xét rằng 0 $\leq$ x $\leq$ 1 do đó $x^2$ $\leq$ x và $x^4$ $\leq$ x<1>
Từ <1> làm tương tự với y,z được $x^2$+$y^2$+$z^2$ $\leq$ x+y+z=1 và $x^4$+$y^4$+$z^4$ $\leq$ x+y+z=1(dẫu bằng xảy ra khi có 1 số=1 và 2 số còn lại =0)
Vậy 2A đạt GTLN=2 hay A đạt GTLN=1 khi và chỉ khi 1 trong 3 số x,y,z=1 và 2 số còn lại =0

Bạn làm nhầm rồi nếu dấu"=" xảy ra khi 2 số =0 và số còn lại =1 thì A=0

[Devil25]

Em xin lỗi dấu bằng kiểu này ko xảy ra.

[chemtoidy]

Bài này dấu bằng xảy ra khi $x=\dfrac{1}{3};y=0;z=\dfrac{2}{3}$.Dùng bất đẳng thức thì khó mà đánh giá được dấu bằng!Bài này mình nghĩ nên dung đạo hàm

[Crystal]

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$
Tìm GTLN của
$$A=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$$

Giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử $x = max\left\{ {x,y,z} \right\}$.

Do $y \le x \Rightarrow {y^2}z \le xyz\,\,;\,\,\,\,z \le x \Rightarrow {z^2}x \le z{x^2}$

Khi đó: $$A = {x^2}y + {y^2}z + {z^2}x \le {x^2}y + xyz + \dfrac{1}{2}{z^2}x + \dfrac{1}{2}{z^2}x \le $$
$$ \le {x^2}y + xyz + \dfrac{{z{x^2}}}{2} + \dfrac{{{z^2}x}}{2} = x\left( {x + z} \right)\left( {y + \dfrac{z}{2}} \right) = {2^2}\left( {\dfrac{x}{2}.\dfrac{{x + z}}{2}} \right)\left( {y + \dfrac{z}{2}} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$
Theo BĐT AM - GM, ta có:
$$\left( {\dfrac{x}{2}.\dfrac{{x + z}}{2}} \right)\left( {y + \dfrac{z}{2}} \right) \le {\left( {\dfrac{{\dfrac{x}{2} + \dfrac{{x + z}}{2} + y + \dfrac{z}{2}}}{3}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{{x + y + z}}{3}} \right)^3} = \dfrac{1}{{27}}\,\,\,\,\left( 2 \right)$$
Từ (1) và (2) suy ra: $A \le \dfrac{4}{{27}}$. Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
z = 0\\
\dfrac{x}{2} = \dfrac{{x + z}}{2} = y + \dfrac{z}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{2}{3}\\
y = \dfrac{1}{3}\\
z = 0
\end{array} \right.$
Vậy $maxA = \dfrac{4}{{27}} \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3},\,y = \dfrac{1}{3},\,\,z = 0$.

[chemtoidy]

Cho em hỏi $x=max{(x;y;z)}$ là thế nào ạ

[Crystal]

Cho em hỏi $x=max{(x;y;z)}$ là thế nào ạ

$x=max{(x;y;z)}$ có nghĩa $x$ là số lớn nhất trong 3 số $x,y,z$ tức $x \ge y,x \ge z$.