Chủ đề này có 3 trả lời

[alex_hoang]

Các bài toán bất đẳng thức phân tích thành tổng bình phương là các bài toán rất khố với những bạn mới tiếp xúc về BĐT.Vì vậy trong chủ đề này mình sẽ giới thiệu một số bài toán giải bằng phương pháp trên của thành viên Ta Hong Quang được đăng tại Mathlink.ro để các bạn thử sức
THQ032. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[a^4+b^4+c^4+2abc(a+b+c) \ge 0 \]
THQ033. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[(a^2+b^2+c^2)^2 \ge ab^3+bc^3+cb^3 \]
THQ034. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[(a^2+b^2+c^2)^2-3abc(a+b+c) \ge 3(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a) \]
----------
THQ035. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[3(a^4+b^4+c^4)+4(a^3b+b^3c+c^3a) \ge 6abc(a+b+c) \]
-------------
THQ036. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[(a^2+b^2+c^2)^2+2(a^3b+b^3c+c^3a) \ge 4abc(a+b+c) \]
-------------
THQ037. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[(a^2+b^2+c^2)^2+2(a^3b+b^3c+c^3a) \ge 3(ab^3+bc^3+ca^3) \]
-------------
THQ038. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[(a^2+b^2+c^2)^2+3(a^3b+b^3c+c^3a) \ge 6abc(a+b+c) \]
THQ039. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[(a^2+b^2+c^2)^2 \ge \sqrt{6}(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c) \]
-----------
THQ040. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[(a^2+b^2+c^2)^2 -2abc(a+b+c) \ge 2(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c) \]
--------------
THQ041. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[3(a^4+b^4+c^4)+2(b^3a+a^3c+c^3b) \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a) \]
--------------
THQ042. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \ge 2(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a) \]
--------------
THQ043. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[5(a^4+b^4+c^4)+4(a^3b+b^3c+c^3a) \ge 8abc(a+b+c) \]
--------------
THQ044. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[2(a+b+c)^4+3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \ge 6(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a) \]
--------------
THQ045. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[ 2(a^4+b^4+c^4+a^3b+b^3c+c^3a) \ge 3abc(a+b+c) \]
--------------
THQ046. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[ a^4+b^4+c^4+a^3b+b^3c+c^3a \ge \dfrac 35(ab+bc+ca)^2 \]
THQ050. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
\[7(a^2+b^2+c^2)^2+12\sum_{cyc}^{ }ab(a^2+b^2)\ge0\]
THQ052. Let $a, \, b, \, c \, \in R$ . Prove that
$ (a^2+b^2+c^2)^2 - 3abc(a+b+c) \ge $
$\ge \dfrac{1}{4}((a^2-b^2-2ab+bc+ac)^2+(a^2-b^2+2ab-bc-ac)^2) $
Mình muốn trích dẫn nguyên si nhưng không gửi được đành phải xóa thẻ trích dẫn đi các bạn hãy thử khả năng phân tích của mình nha

[Didier]

THQ034
$ (3a^{2}+3b^{2}+4c^{2}+2ab+bc+ca)(a-b)^{2}+
(3b^{2}+3c^{2}+4a^{2}+2bc+ac+ab)(b-c)^{2}+(3c^{2}+3a^{2}+4b^{2}+2ac+ab+bc)(c-a)^{2}$
Đây là phân tích của câu THQ034 còn các câu có dấu bằng không xảy ra tại $ a=b=c $ thì ai biết post nhé còn câu đẩu thì có một cách khác không cần phân tích bình phương
$ a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}$(BĐT hoán vị)
$ \Rightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}+2abc(a+b+c)=(ab+bc+ca)^{2}\geq 0$

[thandongtoan]

^{Đúng là câu đầu không cần phân tích tổng bình phương thật nhưng mà mình thấy cách phân tích tổng bình phương thì nó hay hơn}

[viet 1846]

Mấy bài này đã được chú Tạ Hồng Qunảg post trên topic " Bất đẳng thức Made in BOXMATH "


Và nó cũng được giải khá ấn tượng.


http://boxmath.vn/4r...-boxmath-19425/