Chủ đề này có 4 trả lời

[Zaraki]

ĐỀ THI CHỌN HSG TIỀN GIANG NĂM 2011-2012 VÒNG 2

Câu 1. Tìm tổng các nghiệm thuộc đoạn $[2;40]$ của phương trình

$$2\cos^2x+\cot^2x=\dfrac{\sin^3x+1}{\sin^2x}.$$

Câu 2.

• Giải hệ phương trình
  $$\begin{cases} (1+4^{2x-y})5^{1-2x+y}=1+2^{2x-y+1}\\ y^3+4x+1+\ln(y^2+2x)=0.\end{cases}$$
  
• Giải phương trình
  $$3x^2+1+\log_{2011}\dfrac{4x^2+2}{x^6+x^2+1}=x^6$$
  

Câu 3.

• Chứng minh rằng $$\sin 18^{\circ}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}.$$
  
• Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
  $$f(x)=(32x^5-40x^3+10x-1)^{2012}+(16x^3-12x+\sqrt{5}-1)^{2010}$$
  
• Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_0>0$
  $$u_{n+1}=\dfrac{2+\sqrt{2u_n^2+4u_n+4}}{u_n}$$
  với $n=1,2,3,\ldots$. Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 4. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Trên tia đối $Ax$ của tia $AB$ lấy điểm $M$. Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MC$ và $MD$ ($C,D$ là các tiếp điểm và $D$ nằm trong $(O)$). Đường thẳng $AC$ cắt $(O)$ tại $P$ và đường thẳng $AD$ cắt $(O)$ tại $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 16-11-2011 - 20:25

[Crystal]

Câu 1. Tìm tổng các nghiệm thuộc đoạn $[2;40]$ của phương trình

$$2\cos^2x+\cot^2x=\dfrac{\sin^3x+1}{\sin^2x}.$$

Tương tự bài ở đây (bài 1)
http://diendantoanho...showtopic=62550

[Crystal]

Câu 2.

• Giải hệ phương trình
  $$\begin{cases} (1+4^{2x-y})5^{1-2x+y}=1+2^{2x-y+1}\\ y^3+4x+1+\ln(y^2+2x)=0.\end{cases}$$

Hướng dẫn:
Từ phương trình thứ nhất, đặt $t=2x-y$ và xét hàm số $f\left( t \right) = \left( {1 + {4^t}} \right){5^{1 - t}} - {2^{t + 1}} - 1 \Rightarrow t = 1$
Sau đó thế vào phương trình thứ hai và xét hàm $f\left( y \right)$.
Nghiệm của hệ đã cho là $\boxed{\left( {x,y} \right) = \left( {0, - 1} \right)}$.

[Crystal]

Câu 2.

2. Giải phương trình
$$3x^2+1+\log_{2011}\dfrac{4x^2+2}{x^6+x^2+1}=x^6$$

Phương trình đã cho tương đương với: $${\log _{2011}}\dfrac{{4{x^2} + 2}}{{{x^6} + {x^2} + 1}} = {x^6} - 3{x^2} - 1$$
$$ \Leftrightarrow {\log _{2011}}\left( {4{x^2} + 2} \right) - {\log _{2011}}\left( {{x^6} + {x^2} + 1} \right) = \left( {{x^6} + {x^2} + 1} \right) - \left( {4{x^2} + 2} \right)$$
$$ \Leftrightarrow {\log _{2011}}\left( {4{x^2} + 2} \right) + \left( {4{x^2} + 2} \right) = {\log _{2011}}\left( {{x^6} + {x^2} + 1} \right) + \left( {{x^6} + {x^2} + 1} \right)$$
Xét hàm số: $f\left( t \right) = {\log _{2011}}t + t,\,\,t > 0 \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2011}} + 1 > 0 \Rightarrow $ hàm $f$ đơn điệu tăng.
Khi đó: $$f\left( {4{x^2} + 2} \right) = f\left( {{x^6} + {x^2} + 1} \right) \Leftrightarrow 4{x^2} + 2 = {x^6} + {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^6} - 3{x^2} - 1 = 0$$
$$ \Leftrightarrow {u^3} - 3u - 1 = 0,\,\,\,u = {x^2} \geqslant 0$$
Phương trình chỉ có nghiệm trong khoảng $\left( {0,2} \right)$. Đặt $u = 2\cos t,\,\,0 < t < \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow c{\text{os}}3t = \dfrac{1}{2}$
Từ đó suy ra nghiệm của phương trình là $\boxed{x = \pm \sqrt {2\cos \dfrac{\pi }{9}} }$.

[Crystal]

Câu 3.
1. Chứng minh rằng $$\sin 18^{\circ}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}.$$

Ta thấy: nếu $x = {{{18}^0}}$ thì $c{\text{os}}3x = \sin 2x$
$$ \Leftrightarrow c{\text{os}}2x\cos x - \sin 2x\sin x = 2\sin x\cos x$$
$$ \Leftrightarrow c{\text{os}}2x\cos x - 2{\sin ^2}x\cos x = 2\sin x\cos x$$
$$ \Leftrightarrow c{\text{os}}2x - 2{\sin ^2}x = 2\sin x \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x - 2{\sin ^2}x = 2\sin x$$
$$ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x + 2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\sin x = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{4} \\
\sin x = - \dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{4}\,\,\,\left( L \right) \\
\end{gathered} \right.$$
Vậy $\boxed{\sin {{18}^0} = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{4}}$.