Chủ đề này có 1 trả lời

[linh1261997]

1)Cho tam giác ABC co R1 và R2 lần lượt là độ dài bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC.Chứng minh rằng R1>=2R2

2)Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại H( H không trùng với tâm đường tròn ). Gọi M và N lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB và BC.Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của MH và NH với CD và DA. Chứng minh bốn điểm M,N,PQ cùng thuộc một đường tròn.

3) Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác đó . Gọi giao điểm của AM,BM,CM với các cạnh của tam giác là A1,B1,C1. Các đường tròn đường kính AA1 và BC cắt nhau taị A2 , A3. các đường tròn đường kính BB1 và CA cắt nhau tại B2 , B3, các đường tròn đường kính CC1,AB cắt nhau tại C2, C3 .Chứng minh rằng các điểm A2,A3,B2,B3,C2,C3 cùng thuộc 1 đường tròn

[perfectstrong]

Bài 1:
Gọi O,I là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp $\vartriangle ABC$.
Sử dụng định lý Euler: $OI^2=R_1^2-2R_1R_2 \geq 0 \Rightarrow R_1 \geq 2R_2$
Bài 2:

Hạ HL CD, cắt AB tại J; HI AD cắt BC tại K.
Ta chứng minh một kết quả mạnh hơn: P,I,Q,J,M,K,N,L cùng thuộc 1 đtròn.
$\angle JHA=\angle LHC=\angle LDC=\angle JAH \Rightarrow JA=JH; \angle JHB=\angle JBH \Rightarrow JA=JH=JB$
Nên J là trung điểm AB. Tương tự, K,L,Q thứ tự là trung điểm BC,CD,DA.
HIAM là tgnt $\Rightarrow \angle AMI=\angle AHI=\angle ADH$
QJ là đường trung bình $\vartriangle ABD$ nên QJ// BD $\Rightarrow \angle AQJ=\angle ADB=\angle AMI \Rightarrow $ QJMI là tgnt.
Gọi (X) là đường tròn ngoại tiếp QJMI.
JK là đường trung bình $\vartriangle ABC$ nên JK//AC $\Rightarrow \angle MJK=\angle MAC=\angle MIH$ nên IJMK là tgnt. Suy ra, K thuộc (X).
Cm tương tự, P,L,N cũng thuộc (X).