Chủ đề này có 2 trả lời

[trinhj]

Mọi người giúp mình bài này với
Xét tính hội tụ dãy số sau
$x_{n}=\dfrac{sin1}{\sqrt{1.2}}+\dfrac{sin2}{\sqrt{2.3}}+\dfrac{sin3}{\sqrt{3.4}}+...+\dfrac{sinn}{\sqrt{n.(n+1))}}$
Cám ơn mọi người trước nhé.



XEM THÔNG BÁO VỀ VIỆC ĐẶT TIÊU ĐỀ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trinhj: 13-12-2011 - 18:46

[Crystal]

Mọi người giúp mình bài này với
Xét tính hội tụ dãy số sau
$x_{n}=\dfrac{sin1}{\sqrt{1.2}}+\dfrac{sin2}{\sqrt{2.3}}+\dfrac{sin3}{\sqrt{3.4}}+...+\dfrac{sinn}{\sqrt{n.(n+1))}}$
Cám ơn mọi người trước nhé.

Đặt

${S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\sin } i = \dfrac{{\sin \dfrac{n}{2}\sin \dfrac{{n + 1}}{2}}}{{\sin \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{\cos \dfrac{1}{2} - \cos \left( {n + \dfrac{1}{2}} \right)}}{{2\sin \dfrac{1}{2}}} \Rightarrow {S_n}$ bị chặn.

Ta có: $${x_{n + k}} - {x_n} = \sum\limits_{i = 1}^k {({S_{n + i}} - {S_{n + i - 1}})} \dfrac{1}{{\sqrt {(n + i)(n + i + 1)} }}$$
$$ = - {S_n}\dfrac{1}{{\sqrt {(n + 1)(n + 2)} }} + \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} {{S_{n + i}}} \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {(n + i)(n + i + 1)} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {(n + i + 1)(n + i + 2)} }}} \right) + $$
$$ + {S_{n + k}}\dfrac{1}{{\sqrt {(n + p)(n + p + 1)} }}$$
Suy ra: $$|{x_{n + k}} - {x_n}| \leqslant 2\sup \{ |{S_m}|:m \geqslant 1\} \dfrac{1}{{\sqrt {(n + 1)(n + 2)} }}$$
Nhận thấy: $$2\sup \{ |{S_m}|:m \geqslant 1\} \dfrac{1}{{\sqrt {(n + 1)(n + 2)} }} \to 0\,\,\,khi\,\,n \to + \infty $$
Từ đó dễ suy ra dãy đã cho hội tụ.

[trinhj]

Cảm ơn mọi người giúp đỡ.
Mình cũng tìm ra cách giải khác như sau :
Ta xét $\dfrac{sink}{\sqrt{k(k+1)}}=\dfrac{cos(k-\dfrac{1}{2})-cos(k+\dfrac{1}{2})}{2.sin\dfrac{1}{2}.\sqrt{k.(k+1))}}$
Để áp dụng tiêu chuẩn Cauchy, ta xét
$x_{n+a}-x_n=\dfrac{\sin (n+1)}{\sqrt{(n+1).(n+2)}}+\dfrac{\sin (n+2)}{\sqrt{(n+2).(n+3)}}+\dfrac{\sin (n+3)}{\sqrt{(n+3).(n+4)}}+...+\dfrac{\sin (n+a)}{\sqrt{(n+a).(n+a+1)}}$
$=\dfrac{1}{2.sin\dfrac{1}{2}}\left [ \dfrac{cos(n-\dfrac{1}{2})-cos(n+ \dfrac{3}{2})}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}+ \dfrac{cos(n+\dfrac{3}{2})-cos(n+\dfrac{5}{2})}{\sqrt{(n+2)(n+3)}}+ \dfrac{cos(n+\dfrac{5}{2})-cos(n+\dfrac{7}{2})}{\sqrt{(n+3)(n+4)}}+...+ \dfrac{cos(n+\dfrac{2a-1}{2})-cos(n+\dfrac{2a+1}{2})}{\sqrt{(n+a)(n+a+1)}} \right ]$
$=\dfrac{1}{2.sin\dfrac{1}{2}}\left [ cos(n-\dfrac{1}{2}).\dfrac{1}{\sqrt{(n+1).(n+2)}}+cos(n+ \dfrac{3}{2}).\left ( \dfrac{1}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}- \dfrac{1}{\sqrt{(n+2)(n+3)}}\right )+...+cos(n+\dfrac{2a-1}{2}).\left ( \dfrac{1}{\sqrt{(n+a-1)(n+a)}}- \dfrac{1}{\sqrt{(n+a)(n+a+1)}}\right ) -cos(n+\dfrac{2a+1}{2}) \dfrac {1}{\sqrt{(n+a)(n+a+1)}} \right ] $
Do đó
$|x_{n+a}-x_n|< \dfrac{1}{2.sin\dfrac{1}{2}}.\left [ \dfrac{1}{\sqrt{(n+1).(n+2)}}+2\right ]$
Có thể suy ra dãy $x_n$ hội tụ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trinhj: 05-01-2012 - 14:12