Đến nội dung

Hình ảnh

Thi học sinh giỏi Quận Đống Đa 2011-2012

Thi học sinh giỏi Quận Đống Đ Thi học sinh giỏi Quận Đống Đ Thi học sinh giỏi Quận Đống Đ

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
phamvanha92

phamvanha92

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
Hot Hot!!!

MoD: Mình type lại đề nhìn cho dễ.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN ĐỐNG ĐA 2011-2012
MÔN: TOÁN
NGÀY THI: 10 tháng 12 năm 2012
THỜI GIAN: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4,0 điểm)
Rút gọn biểu thức:
\[A = \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt {4 - {x^2}} } \left[ {\sqrt {{{\left( {2 + x} \right)}^3}} - \sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^3}} } \right]}}{{4 + \sqrt {4 - {x^2}} }}\]
với $-2 \leq x \leq 2$.

Bài 2: (6,0 điểm)
1) Cho trước số hữu tỷ m sao cho $\sqrt[3] m$ là số vô tỷ. Tìm các số hữu tỷ a,b,c để:
\[ a \sqrt[3]{m^2}+b\sqrt[3]{m}+c=0 \]
2) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho 2 điều kiện sau đồng thời thỏa mãn:
(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
(ii) Tổng p+q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.

Bài 3: (4,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn:
\[ |x-10| + |x-11| + |x+101| + |x+990| + |x+1000|=2012 \]
2) Chứng minh rằng có thể chia một tam giác vuông có độ dài 3 cạnh là các số nguyên thành 6 phần diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên.

Bài 4: (4,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt AB,AC thứ tự tại M,N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I,K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.
2) Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB,AC. Xác định vị trí M để PQ có độ dài nhỏ nhất.

Bài 5: (2,0 điểm)
Trong một hình vuông cạnh bằng 7, lấy 51 điểm. Chứng minh rằng có 3 điểm trong 51 điểm đã cho cùng nằm trong 1 hình tròn có bán kính bằng 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 15-01-2012 - 19:05


#2
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Lần sau gửi bài thì chịu khó ngồi gõ lại nhé. Để vậy nhìn dễ bị cận thị lắm.
Bài 5:
Chia hình vuông thành 25 hình vuông bằng nhau có cạnh bằng 1,4
51 = 2.25+1
Theo nguyên tắc Đirichlet có ít nhất 3 điểm nằm trong hình vuông
Ta có bán kính 1 đường tròn trong ngoại tiếp 1 hình vuông là $4R^2=1,4^2+1,4^2\Rightarrow R=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}<1$
Do đó tồn tại ít nhất 3 điểm trong 51 điểm nằm trong 1 đường tròn bán kinh bằng 1

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#3
Đoàn Quốc Việt

Đoàn Quốc Việt

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

1) Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB,AC. Xác định vị trí M để PQ có độ dài nhỏ nhất.


Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$.
Hình đã gửi
Dễ thấy $A,Q,M,H,P$ nằm trên đường tròn $(O)$
Do cung $PQ$ chắn góc A không đổi nên $PQ$ ngắn nhất khi đường kính $AM$ ngắn nhất.
Điều này xảy ra khi $M$ trùng với $H$.
Không cần chữ kí.

#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Bài 2:
2) Gọi số cần tìm là \[\overline {abcd} \]
Theo giả thiết (i), ta có:
\[a < b < c < d\]
\[\begin{array}{l} c < d \Rightarrow c \le d - 1 \Leftrightarrow \dfrac{c}{d} \le \dfrac{{d - 1}}{d} = 1 - \dfrac{1}{d} \\ a < b \Rightarrow a \le b - 1 \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} \le \dfrac{{b - 1}}{b} = 1 - \dfrac{1}{b} \\ b < c \Rightarrow b \le c - 1 \le d - 2 \\ d \le 9 \Leftrightarrow b \le 7 \\ \end{array}\]
\[ \Rightarrow p + q = \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \le 2 - \left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{d}} \right) \le 2 - \left( {\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9}} \right) = \dfrac{{110}}{{63}}\]
Mà do (ii) nên đẳng thức xảy ra. Do đó:
\[\left\{ \begin{array}{l} c = d - 1 \\ a = b - 1 \\ d = 9 \\ b = 7 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \overline {abcd} = 6789\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-12-2011 - 19:31

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài 3: (4,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn:
\[ |x-10| + |x-11| + |x+101| + |x+990| + |x+1000|=2012 \]

Biến đổi
$$\begin{array}{l} |x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11| \\ =|x+990|+|x+1000|+|10-x|+|11-x| \\ \ge |x+990+x+1000+10-x+11-x|=2011 \end{array}$$
Do $|x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11| \le 2012$.
  • Nếu $|x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11|=2011$ thì $|x+101|=1 \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x+101=1 & & \\ x+101=-1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x=-100 & & \\ x=-102 & & \end{matrix}\right.$
  • Nếu $|x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11|=2012$ thì $|x+101|=0 \Rightarrow x=-101$.
$\boxed{\text{Kết luận}}$. Ta tìm được $x \in \{ -100,-102, - 101 \}$. $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 14-01-2012 - 14:28

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#6
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 1: (4,0 điểm)
Rút gọn biểu thức:
\[A = \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt {4 - {x^2}} } \left[ {\sqrt {{{\left( {2 + x} \right)}^3}} - \sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^3}} } \right]}}{{4 + \sqrt {4 - {x^2}} }}\]
với $-2 \leq x \leq 2$.

Bài 2: (6,0 điểm)
1) Cho trước số hữu tỷ m sao cho $\sqrt[3] m$ là số vô tỷ. Tìm các số hữu tỷ a,b,c để:
\[ a \sqrt[3]{m^2}+b\sqrt[3]{m}+c=0 \]

Bài 1:
Đặt $a = \sqrt {2 + x} ;{\rm{ b}} = \sqrt {2 - x} {\rm{ (a, b}} \ge {\rm{0)}}$
$ \Rightarrow a^2 + b^2 = 4;{\rm{ }}a^2 - b^2 = 2x$
$ \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {2 + ab} \left( {a^3 - b^3 } \right)}}{{4 + ab}} = \frac{{\sqrt {2 + ab} \left( {a - b} \right)\left( {a^2 + b^2 + ab} \right)}}{{4 + ab}}$
$ \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {2 + ab} \left( {a - b} \right)\left( {4 + ab} \right)}}{{4 + ab}} = \sqrt {2 + ab} \left( {a - b} \right)$
$ \Rightarrow A\sqrt 2 = \sqrt {4 + 2ab} \left( {a - b} \right)$
$ \Rightarrow A\sqrt 2 = \sqrt {\left( {a^2 + b^2 + 2ab} \right)} \left( {a - b} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)$
$ \Rightarrow A\sqrt 2 = a^2 - b^2 = 2x \Rightarrow A = x\sqrt 2 $
Bài 2:
$a\sqrt[3]{{m^2 }} + b\sqrt[3]{m} + c = 0$ (1)
Giả sử tồn tại (1) $a\sqrt[3]{{m^2 }} + b\sqrt[3]{m} + c = 0$ (2)
Từ (1)(2) $ \Rightarrow (b^2 - ac)\sqrt[3]{m} = (a^2 m - bc){\rm{ }}$
Nếu $a^2 m - bc \ne 0$ $ \Rightarrow \sqrt[3]{m} = \frac{{a^2 m - bc{\rm{ }}}}{{b^2 - ac}}$ là số vô tỉ. Trái giả thiết!!
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b^2 - ac = 0 \\
a^2 m - bc = 0 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b^3 = abc \\
bc = am^2 \\
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow b^3 = a^3 m \Rightarrow b = a\sqrt[3]{m}$. Nếu b khác 0 thì $\sqrt[3]{m} = \frac{b}{a}$ là số vô tỉ. Trái Giả thiết
$ \Rightarrow a = 0;b = 0$ từ đó ta tìm được c = 0

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#7
Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
Bài 3:
Xét tam giác ABC vuông tại A.Gọi độ dài BC,AC,AB lần lượt là a,b,c(a,b,c thuộc N*)
Ta cần chứng minh$\bigtriangleup ABC\vdots 6$
<=>bc$\vdots$12<=>Ta cần chứng minh bc$\vdots 3$ và $\vdots 4$
**Chứng minh bc$\vdots 3$:
Giả sử trong hai số b và c không có số nào $\vdots 3$.=>b,c chỉ có dạng b3+1 hoặc b3-1(b3 là bội số của 3)
=>$b^{2}+c^{2}$ có dạng b3-1(Bình phương lên sẽ thấy)
=>$a^{2}$ có dạng b3-1. (1)
+a có dạng b3 =>$a^{2}$ dạng b3
+a có dạng b3+1 hoặc b3-1=>$a^{2}$ dạng b3+1
=>$a^{2}$ có dạng b3 hoặc b3+1. Điều này trái với (1)=> vô lí.
Vậy => trong b và c có ít nhất một số chia hết cho 3=> bc chia hết cho 3
**Chứng minh bc chia hết cho 4 cũng tương tụ nhu trên vói 4 TH:b4;b4+1;b4-1;b4+2
Kết luận bc chia hết cho 12=>$\bigtriangleup ABC\vdots 6$
Vậy bài toán được chứng minh

Hình đã gửi


#8
taduyhung

taduyhung

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết

Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$.
750d84c3c54b19b2aff9262f5c47571f_3897381
Dễ thấy $A,Q,M,H,P$ nằm trên đường tròn $(O)$
Do cung $PQ$ chắn góc A không đổi nên $PQ$ ngắn nhất khi đường kính $AM$ ngắn nhất.
Điều này xảy ra khi $M$ trùng với $H$.µi

bài này ngược dấu rồi.


Sông vô tình nên ngàn năm trôi mãi

Mây hững hờ nên để núi bơ vơ

$118\sqrt{ey80}$

:wub: >:)


#9
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Bài 2: (6,0 điểm)
2) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho 2 điều kiện sau đồng thời thỏa mãn:
(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
(ii) Tổng p+q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.

 

Bài 2:
2) Gọi số cần tìm là \[\overline {abcd} \]
Theo giả thiết (i), ta có:
\[a < b < c < d\]
\[\begin{array}{l} c < d \Rightarrow c \le d - 1 \Leftrightarrow \dfrac{c}{d} \le \dfrac{{d - 1}}{d} = 1 - \dfrac{1}{d} \\ a < b \Rightarrow a \le b - 1 \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} \le \dfrac{{b - 1}}{b} = 1 - \dfrac{1}{b} \\ b < c \Rightarrow b \le c - 1 \le d - 2 \\ d \le 9 \Leftrightarrow b \le 7 \\ \end{array}\]
\[ \Rightarrow p + q = \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \le 2 - \left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{d}} \right) \le 2 - \left( {\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9}} \right) = \dfrac{{110}}{{63}}\]
Mà do (ii) nên đẳng thức xảy ra. Do đó:
\[\left\{ \begin{array}{l} c = d - 1 \\ a = b - 1 \\ d = 9 \\ b = 7 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \overline {abcd} = 6789\]

Bài này hình như anh Hân làm nhầm  rồi ạ !

Đáp án là $$\boxed{\overline {abcd}=1349}$$

Lời giải : 

Gọi số đó là $\overline {abcd}(d>c>b>a)$

Khi đó thì $p=\frac{c}{d},q=\frac{a}{b}$

$p+q=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$

Để $p+q$ nhỏ nhất thì $a=1,d=9\rightarrow p+q=\frac{c}{9}+\frac{1}{b}$

Đặt $c=b+m(m\geq 1)$

$\Rightarrow p+q=\frac{c}{9}+\frac{1}{b}=\frac{b}{9}+\frac{1}{b}+\frac{m}{9}\geq \frac{2}{3}+\frac{m}{9}\geq \frac{2}{3}+\frac{1}{9}=\frac{7}{9}$

Min $p+q=\frac{7}{9}\Leftrightarrow m=1\Leftrightarrow b=3,c=4$

Vậy $$\boxed{\overline {abcd}=1349}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 09-01-2014 - 17:23


#10
monkeydlaxus

monkeydlaxus

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Bài 1:
Đặt $a = \sqrt {2 + x} ;{\rm{ b}} = \sqrt {2 - x} {\rm{ (a, b}} \ge {\rm{0)}}$
$ \Rightarrow a^2 + b^2 = 4;{\rm{ }}a^2 - b^2 = 2x$
$ \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {2 + ab} \left( {a^3 - b^3 } \right)}}{{4 + ab}} = \frac{{\sqrt {2 + ab} \left( {a - b} \right)\left( {a^2 + b^2 + ab} \right)}}{{4 + ab}}$
$ \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {2 + ab} \left( {a - b} \right)\left( {4 + ab} \right)}}{{4 + ab}} = \sqrt {2 + ab} \left( {a - b} \right)$
$ \Rightarrow A\sqrt 2 = \sqrt {4 + 2ab} \left( {a - b} \right)$
$ \Rightarrow A\sqrt 2 = \sqrt {\left( {a^2 + b^2 + 2ab} \right)} \left( {a - b} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)$
$ \Rightarrow A\sqrt 2 = a^2 - b^2 = 2x \Rightarrow A = x\sqrt 2 $
Bài 2:
$a\sqrt[3]{{m^2 }} + b\sqrt[3]{m} + c = 0$ (1)
Giả sử tồn tại (1) $a\sqrt[3]{{m^2 }} + b\sqrt[3]{m} + c = 0$ (2)
Từ (1)(2) $ \Rightarrow (b^2 - ac)\sqrt[3]{m} = (a^2 m - bc){\rm{ }}$
Nếu $a^2 m - bc \ne 0$ $ \Rightarrow \sqrt[3]{m} = \frac{{a^2 m - bc{\rm{ }}}}{{b^2 - ac}}$ là số vô tỉ. Trái giả thiết!!
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b^2 - ac = 0 \\
a^2 m - bc = 0 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b^3 = abc \\
bc = am^2 \\
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow b^3 = a^3 m \Rightarrow b = a\sqrt[3]{m}$. Nếu b khác 0 thì $\sqrt[3]{m} = \frac{b}{a}$ là số vô tỉ. Trái Giả thiết
$ \Rightarrow a = 0;b = 0$ từ đó ta tìm được c = 0

bạn ơi, câu 2 đoạn từ (1)(2) suy ra là như nào vậy, mình đọc không hiểu



#11
diemthiquyen

diemthiquyen

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

câu 2 phần 2 bạn làm sai rồi p+q phải là nhỏ nhất chứ,bạn làm thành lớn nhất rồi.



#12
binh barcelona

binh barcelona

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết

ai vẽ cái hình ra đi



#13
bangvoip673

bangvoip673

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

Biến đổi
$$\begin{array}{l} |x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11| \\ =|x+990|+|x+1000|+|10-x|+|11-x| \\ \ge |x+990+x+1000+10-x+11-x|=2011 \end{array}$$
Do $|x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11| \le 2012$.

  • Nếu $|x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11|=2011$ thì $|x+101|=1 \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x+101=1 & & \\ x+101=-1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x=-100 & & \\ x=-102 & & \end{matrix}\right.$
  • Nếu $|x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11|=2012$ thì $|x+101|=0 \Rightarrow x=-101$.
$\boxed{\text{Kết luận}}$. Ta tìm được $x \in \{ -100,-102, - 101 \}$. $\blacksquare$

 

Làm thừa đáp án rồi bác ơi. Với -101 thì ko tm pt đâu, chỉ -100 và -102. Bác nên có dòng thử lại ở cuối bài thì chắc chắn hơn






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh