Chủ đề này có 2 trả lời

[huou202]

chứng minh :$\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\geq3 $ với a,b,c là 3 cạnh tam giác
Chú ý Giai nhiều cách càng tốt

[dark templar]

chứng minh :$\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\geq3 $ với a,b,c là 3 cạnh tam giác
Chú ý Giai nhiều cách càng tốt

Trước hết có 3 cách tham khảo nhé
Cách 1:
Theo BĐT AM-GM,ta có:
$$VT \overset{AM-GM}{\ge} 3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}$$
Việc còn lại chỉ là chứng minh:
$$abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$$
BĐT này có rất nhiều cách chứng minh.Xét về mặt khai triển thì nó là BĐT Schur,nhưng vẫn có cách đơn giản xài BĐT AM-GM.
Thiết lập các BĐT tương tự như BĐT sau rồi nhân vế theo vế:
$$(a+b-c)(b+c-a) \le \left(\dfrac{a+b-c+b+c-a}{2} \right)^2=b^2$$

Cách 2:
Theo BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
$$VT=\sum\dfrac{a^2}{a(b+c-a)} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{\sum a(b+c-a)}=\dfrac{(a+b+c)^2}{2\sum ab -\sum a^2}$$
Ta sẽ chứng minh:
$$\dfrac{(a+b+c)^2}{2\sum ab -\sum a^2} \ge VP=3$$
Tương đương:
$$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$$
1 điều hiển nhiên đúng theo BĐT AM-GM.

Cách 3:
Đổi biến $x=a+b-c;y=b+c-a;z=c+a-b(x,y,z>0)$
Suy ra:
$$\left\{\begin{matrix}a=\dfrac{x+z}{2} \\ b=\dfrac{x+y}{2} \\ c=\dfrac{y+z}{2} \end{matrix}\right.$$
Vậy BĐT tương đương với:
$$\sum \left(\dfrac{x+y}{z} \right) \ge 6$$
1 điều cũng hiển nhiên đúng theo BĐT AM-GM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 24-12-2011 - 20:05

[Ispectorgadget]

Góp chung với anh Phúc cho vui
Cách 4:
$VT=\sum (\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{1}{2})-\dfrac{3}{2}=\sum \dfrac{a+b+c}{2(b+c-a)}-\dfrac{3}{2}$
$=\dfrac{1}{2}[(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)](\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{a+c-b}+\dfrac{1}{a+b-c})-\dfrac{3}{2}\geq \dfrac{9}{2}-\dfrac{3}{2}=3$
Cách 5: Đặt: $M=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a-b+c}+\dfrac{c}{a+b-c}$
$N=\dfrac{b}{-a+b+c}+\dfrac{c}{a-b+c}+\dfrac{a}{a+b-c}$
$P=\dfrac{c}{b+c-a}+\dfrac{a}{a-b+c}+\dfrac{b}{a+b-c}$
Theo ông Cauchy ta có: M+N-P $\geq 3$
M-N+P $\geq 3$
Do đó: (M+N-P) + (M-N+P)$\geq 3+3$
Do đó: $\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a-b+c}+\dfrac{c}{a+b-c}\geq 3$
Bài này còn mấy cách nữa mà gõ mệt quá. Tạm thời 5 cách trước vậy =.=

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 24-12-2011 - 21:09