1 reply to this topic

[trinh huu tri trung]

Cho 3 số a,b,c thỏa mãn $1\leq a,b,c\leq 2$
Chứng minh $(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq 10$

[Crystal]

Cho 3 số a,b,c thỏa mãn $1\leq a,b,c\leq 2$
Chứng minh $(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq 10$

Xem ở đây $ \to $ http://diendantoanho...showtopic=64569

Lời giải:

\[A = \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) = 3 + \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y}} \right) + \left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right)\]
WLOG, giả sử
$ 2 \geq z \geq y \geq x \geq 1 \Rightarrow \dfrac{1}{x} \geq \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{1}{z}$
Sử dụng bất đẳng thức hoán vị, ta thu được:

\[x.\dfrac{1}{y} + y.\dfrac{1}{z} + z.\dfrac{1}{x} \le x.\dfrac{1}{z} + y.\dfrac{1}{y} + z.\dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x} + 1\]

\[x.\dfrac{1}{z} + y.\dfrac{1}{x} + z.\dfrac{1}{y} \le x.\dfrac{1}{z} + y.\dfrac{1}{y} + z.\dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x} + 1\]

\[ \Rightarrow A \le 5 + 2\left( {\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x}} \right)\]
Đặt $t=\dfrac{x}{z} \Rightarrow \dfrac{1}{2}\leq t \leq 1$
Xét hàm $f(t)=t+\dfrac{1}{t}$ với $t \in [\dfrac{1}{2};1]$. Dễ thấy f nghịc biến.
$\Rightarrow f(t) \leq f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{5}{2}$
$\Rightarrow A \leq 10$

Edited by Cao Xuân Huy, 25-12-2011 - 17:23.