Chủ đề này có 13 trả lời

[TanThi1]

Ai giup minh chung minh gioi han nay voi
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1$

[Crystal]

Ai giup minh chung minh gioi han nay voi
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1$

Chứng minh: $\forall x$ thoả $0 < \left| x \right| < \dfrac{\pi }{2}$ ta luôn có:
$$\boxed{\cos x < \dfrac{{\sin x}}{x} < 1}$$
Mặt khác: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x = 1$. Theo nguyên lí kẹp, suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1$

[T*genie*]

Nếu em đang học lớp 12 thì có thể viết về dạng $\dfrac{\sin x -\sin 0}{x-0}$ thì em sẽ thấy giới hạn của em chính là đạo hàm của $\sin x$ tại $0$. Hehe.

[TanThi1]

minh khong chung minh duoc cai nay ban chung minh giup minh lun di
$\forall x:0 < \left| x \right| < \dfrac{\pi }{2}$


$\cos x < \dfrac{{\sin x}}{x}$
thank you!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TanThi1: 27-12-2011 - 11:08

[Crystal]

minh khong chung minh duoc cai nay ban chung minh giup minh lun di
$\forall x:0 < \left| x \right| < \dfrac{\pi }{2}$
$\cos x < \dfrac{{\sin x}}{x}$

Hướng dẫn: Bạn dùng phương pháp hàm số đối với hàm $f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x}}{x} - \cos x,\,\,\forall x:0 < \left| x \right| < \dfrac{\pi }{2}$

[simplekolor]

Bạn xusinst: Khi xây dựng công thức đạo hàm cho các hàm lượng giác thì người ta dùng giới hạn của $ \dfrac{\sin x}{x}$ nên việc dùng hàm số để chứng minh công thức giới hạn đó coi như là việc xem mệnh đề A đúng để chứng minh mệnh đề A. Việc đó hiển nhiên là khá buồn cười, người ta chỉ dùng cách này để nâng cao kĩ năng hàm số cho học sinh.

Bạn TanThi1: Bạn có thể chứng minh thông qua bất đẳng thức cơ bản $ \sin x < x < \tan x $ bằng cách vẽ đường tròn lượng giác và biểu thị các đại lượng trên ví dụ x sẽ biểu thị bằng độ dài cung tròn, $ \sin x$ và $\tan x$ biểu thị bằng độ dài các đoạn thẳng trên các trục sin và tan tương ứng. Mình nhớ cách này sách giáo khoa có trình bày thì phải.

[TanThi1]

mình đã thử làm rồi nhưng vẫn chưa ra được, tớ mới chứng minh được sin x < x còn x < tan x tớ vẫn chưa làm được

[catu2rednet]

có thể dùng bất đẳng thức sau:
x- x²/2 < sin x< x

[bangbang1412]

Bài này có thể giải hoàn toàn bằng phương pháp lượng giác và hình học .

[pminhquy]

Đặt: $f(x)=x-sinx, g(x)=tanx-x$, dùng đạo hàm chứng minh được rằng: $sinx < x < tanx$, chia 2 vế cho $sinx$, suy ra $1<x<\frac{1}{cosx}$
Từ đó suy ra giới hạn khi cho $x\rightarrow 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pminhquy: 10-08-2013 - 11:33

[bangbang1412]

http://translate.goo...iw=1024&bih=749

 chứng minh này rất hay 

[pminhquy]

uhm chứng minh rất hay hehe

[bangbang1412]

uhm chứng minh rất hay hehe

Em nghĩ có thể dùng 1 đánh giá trên vòng tròn lượng giác là khi góc a của nó dần kép về trục Oy thì sin của nó cũng dần dần lùi về trục Oy ( ngắn lại theo góc ) ; khi đủ nhỏ thì tỉ lệ tương ứng 1-1

[pminhquy]

Em nghĩ có thể dùng 1 đánh giá trên vòng tròn lượng giác là khi góc a của nó dần kép về trục Oy thì sin của nó cũng dần dần lùi về trục Oy ( ngắn lại theo góc ) ; khi đủ nhỏ thì tỉ lệ tương ứng 1-1

anh không hiểu lắm =.=!