Chủ đề này có 4 trả lời

[dangquochoi]

cho $x_{0}> -1$ và $x_{n+1}=\dfrac{1}{1+x_{n}}$ (n=0,1,2,...)
a) vẽ đồ thị hàm số $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$ và nối dãy điểm $(x_{n},f(x_{n})),(x_{n+1},f(n_{n+1})),n=0,1,2,...$
b)Từ khảo sát hàm số trên, tìm điều kiện của $x_{0}$ để dãy $(x_{n})_{n\varepsilon N}$ hội tụ.
c) Tính $\lim_{n\to \infty }{x_{n}}$

[Crystal]

cho $x_{0}> -1$ và $x_{n+1}=\dfrac{1}{1+x_{n}}$ (n=0,1,2,...)
c) Tính $\lim_{n\to \infty }{x_{n}}$

Câu $a, b$ mình nhác làm, xin làm câu $c$ vậy.

Giả sử tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = L,\,\,\left( {L > - 1} \right)$. Chuyển qua giới hạn từ đẳng thức: ${x_{n + 1}} = \dfrac{1}{{1 + {x_n}}}$, ta được:
$$L = \dfrac{1}{{1 + L}} \Leftrightarrow {L^2} + L - 1 = 0 \Leftrightarrow L = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\,\,do\,\,L > - 1$$
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 26-12-2011 - 18:53

[simplekolor]

Điều quan trọng của bài toán này là chứng minh nó có giới hạn, chứ nếu giả sử có giới hạn rồi tìm thì bài toán quá tầm thường rồi. Bài này có thể làm theo kiểu tính số gia như những bài bạn dangquochoi đã post nhưng làm theo câu a và b thì mình chưa hiểu ý lắm.

[trinhj]

c) Ta chứng minh cho nó có giới hạn hữu hạn rồi áp dụng các tính

Câu $a, b$ mình nhác làm, xin làm câu $c$ vậy.

Giả sử tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = L,\,\,\left( {L > - 1} \right)$. Chuyển qua giới hạn từ đẳng thức: ${x_{n + 1}} = \dfrac{1}{{1 + {x_n}}}$, ta được:
$$L = \dfrac{1}{{1 + L}} \Leftrightarrow {L^2} + L - 1 = 0 \Leftrightarrow L = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\,\,do\,\,L > - 1$$
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}$.

Dễ thấy $x_{n} > 0$
Ta xét $\dfrac{x_{n}}{x_{n+1}}=x_{n}^2+x_{n}$
Ta chia dãy $x_{n}$ thành hai dãy con
Với $x\geq \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ thì dãy con I giảm và bị chặn dưới(Bạn tự chứng minh nhé). Do đó hội tụ, có giới hạn hữu hạn, rồi áp dụng cách tính của bạn xunsinst
Với $x\< \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ thì dãy con II tăng và bị chặn trên.Tương tự như trên ta tính giới hạn
Hai dãy con đều hội tụ tại một điểm, hơn nữa với mọi x thì x phải thuộc dãy con I or dãy con II
Ta kết luận được điểm hội tụ...

[simplekolor]

Cách làm bài này gọn nhất là dùng số gia của hàm số, hoặc nói đơn giản là chứng minh $\left\vert x_{n+1} - a \right\vert \leq m\left\vert x_n -a \right\vert $ với m là số dương nhỏ hơn 1. Từ đó dễ dàng tìm ra giới hạn hoặc chứng minh là dãy Cauchy tùy theo đề bài.