Chủ đề này có 4 trả lời

[thuanhoang1712]

Tính tích phân sau: $\int_{0}^{\pi /6}\dfrac{sin^{^{2}}x}{sinx + \sqrt{3}cosx}dx$

[duongtoi]

Ta thấy $\sin x+\sqrt 3\cos x=2\sin{\left (x+\dfrac{\pi}{3} \right )}.$ Đặt $t=x+\dfrac{\pi}{3}$ khi đó,
$\int_0^{\dfrac{\pi}{6}}{\dfrac{\sin^2x}{\sin x+\sqrt 3\cos x}{\rm d}x}=\int_\dfrac{\pi}{3}^{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\sin^2(t-\dfrac{\pi}{3})}{2\sin t}{\rm d}t}$
$=\int_\dfrac{\pi}{3}^{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\sin^2t+3\cos^2 t-2\sqrt 3\sin t\cos t}{8\sin t}{\rm d}t}=\dfrac{1}{8}\int_\dfrac{\pi}{3}^{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3-2\sin^2t-2\sqrt 3\sin t\cos t}{\sin t}{\rm d}t}$
Đến đây em có thể làm tiếp được rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 29-12-2011 - 13:55

[hoangcuong12a3]

$\dpi{100} sinx+\sqrt{3}cosx=2sin(x+\dfrac{\pi }{3})$
đặt t=$\dpi{100} x+\dfrac{\pi }{3}.$
đến đây bạn thay vào rùi khai triển là ra.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangcuong12a3: 31-12-2011 - 22:25

[Crystal]

Tính tích phân sau: $\int_{0}^{\pi /6}\dfrac{sin^{^{2}}x}{sinx + \sqrt{3}cosx}dx$

Cách này nhé


Ta có biến đổi sau:
$${\sin ^2}x = \left( {a\sin x + b\cos x} \right)\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right) + c\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$$
$$ = \left( {a + c} \right){\sin ^2}x + \left( {a\sqrt 3 + b} \right)\sin x\cos x + \left( {b\sqrt 3 + c} \right){\cos ^2}x$$
Đồng nhất hệ số, ta được:
$$\left\{ \begin{array}{l}
a + c = 1\\
a\sqrt 3 + b = 0\\
b\sqrt 3 + c = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{4}\\
b = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\\
c = \dfrac{3}{4}
\end{array} \right.$$
Khi đó: $$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}} dx = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{{\left( {\dfrac{1}{4}\sin x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\cos x} \right)\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right) + \dfrac{3}{4}}}{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}} dx$$
$$ = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\left( {\dfrac{1}{4}\sin x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\cos x} \right)} dx + \dfrac{3}{4}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}} $$
$$ = - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right)dx + \dfrac{3}{8}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)}}} } $$
$$ = - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right)d\left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) + \dfrac{3}{8}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{2\sin \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{6}} \right)}}} } $$
$$ = \left. { - \dfrac{1}{2}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{6}} + \dfrac{3}{8}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{{d\left( {tg\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{6}} \right)} \right)}}{{tg\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{6}} \right)}}} $$
$$ = \left. { - \dfrac{1}{2}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{6}} + \left. {\dfrac{3}{8}\ln \left| {tg\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{6}} \right)} \right|} \right|_0^{\dfrac{\pi }{6}} = - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2}} \right) - \dfrac{3}{8}\ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$$
$$ = \dfrac{1}{4}\left( {1 - \sqrt 3 - \dfrac{3}{2}\ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)$$
Vậy $$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}} dx = \boxed{\dfrac{1}{4}\left( {1 - \sqrt 3 - \dfrac{3}{2}\ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}$$

[YenThanh2]

Thật là hay