Chủ đề này có 1 trả lời

[dangquochoi]

Từ tổng Riemann và tích phân xác định, với $q\varepsilon \mathbb{R}$ ,tính
$S(q)=\lim_{n\to\infty }\dfrac{1}{n}((1+\dfrac{1}{n})^{q}+(1+\dfrac{2}{n})^{q}+...+(1+\dfrac{n}{n})^{q}).$

[Crystal]

Từ tổng Riemann và tích phân xác định, với $q\varepsilon \mathbb{R}$ ,tính
$S(q)=\lim_{n\to\infty }\dfrac{1}{n}((1+\dfrac{1}{n})^{q}+(1+\dfrac{2}{n})^{q}+...+(1+\dfrac{n}{n})^{q}).$

Giới hạn đã cho được viết thành: $$S\left( q \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{1}{n}{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {1 + \dfrac{i}{n}} \right)} ^q}$$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = {\left( {1 + x} \right)^q}$ khả tích trên $\left[ {0,1} \right]$

Chia đoạn $\left[ {0,1} \right]$ bởi các điểm ${x_i} = \dfrac{i}{n}$, chọn điểm ${c_i} = \dfrac{i}{n} \in \left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right],\,\,i = \overline {1,n} $

Khi đó: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\dfrac{1}{n}{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {1 + \dfrac{i}{n}} \right)} }^q}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {\dfrac{i}{n}} \right)} } \right)$$
$$ = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {1 + x} \right)}^q}dx = \left. {\dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{q + 1}}}}{{q + 1}}} \right|_0^1} = \dfrac{{{2^{q + 1}} - 1}}{{q + 1}}$$
Vậy $$S\left( q \right) = \boxed{\dfrac{{{2^{q + 1}} - 1}}{{q + 1}}}$$