Bài 384:Bài 384: Cho $a,b,c$ không âm. Chứng minh: $$3(a^2+b^2+c^2)+abc+80\geq 4(ab+bc+ac)+8(a+c+b)$$
Bài 385: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện: $abc=8$
Chứng minh: $$\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{2+a}{2+b}+\frac{2+b}{2+c}+\frac{2+c}{2+a}$$
Chuyên Hà Tĩnh VÒng 2 - 2012
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số a-4, b-4, c-4 tồn tại 2 số có tích không âm, giả sử là a-4 và b-4
Khi đó:
$c(a-4)(b-4)\geq 0$
$\Leftrightarrow abc+16c\geq 4ac+4bc$
$\Leftrightarrow abc+16c+4ab\geq 4ac+4bc+4ab$
Mà theo AM-GM thì:
$16c+4ab\leq 2c^2+32+2a^2+2b^2$
Do đó:
$2a^2+2b^2+2c^2+abc+32\geq 4(ab+bc+ca)$
Theo Am-GM ta cũng có:
$a^2+16+b^2+16+c^2+16\geq 8(a+b+c)$
Cộng vế 2 BĐT trên ta có ngay ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=4
Bài 385:
Xem tại đây: http://diendantoanho...18
#8