Chủ đề này có 9 trả lời

[tranthiennhan]

$\lim_{x \to +\infty }(sin\sqrt{x+1}-sin\sqrt{x})$

Giúp em thêm bài này nữa nha:
$\lim_{x \to 0 }\dfrac{ln(cos3x)}{ln(cos5x)}$

Cảm ơn mấy bạn, anh chị nhiều. CHÚC MỘT NĂM MỚI VUI VẺ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranthiennhan: 02-01-2012 - 20:02

[Crystal]

$\lim_{x \to +\infty }(sin\sqrt{x+1}-sin\sqrt{x})$

Giúp em thêm bài này nữa nha:
$\lim_{x \to 0 }\dfrac{ln(cos3x)}{ln(cos5x)}$

Cảm ơn mấy bạn, anh chị nhiều. CHÚC MỘT NĂM MỚI VUI VẺ!

Bài 1: $\lim_{x \to +\infty }(sin\sqrt{x+1}-sin\sqrt{x})$

Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {sin\sqrt {x + 1} - sin\sqrt x } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2\cos \left( {\dfrac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}{2}} \right)\sin \left( {\dfrac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt x }}{2}} \right)} \right]$$
Lại có: $\cos \left( {\dfrac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}{2}} \right)$ là một hàm bị chặn và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin \left( {\dfrac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt x }}{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin \left( {\dfrac{1}{{2\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}}} \right) = 0$

Do đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {sin\sqrt {x + 1} - sin\sqrt x } \right) = \boxed0$
-------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 2: $\lim_{x \to 0 }\dfrac{ln(cos3x)}{ln(cos5x)}$

Ta có: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {\cos 3x} \right)}}{{\ln \left( {\cos 5x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\cos 3x - 1} \right)\ln {{\left( {1 + \cos 3x - 1} \right)}^{\dfrac{1}{{\cos 3x - 1}}}}}}{{\left( {\cos 5x - 1} \right)\ln {{\left( {1 + \cos 5x - 1} \right)}^{\dfrac{1}{{\cos 5x - 1}}}}}}$$
$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ - 2{{\sin }^2}\dfrac{{3x}}{2}}}{{ - 2{{\sin }^2}\dfrac{{5x}}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\sin }^2}\dfrac{{3x}}{2}}}{{{{\left( {\dfrac{{3x}}{2}} \right)}^2}}}.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{5x}}{2}} \right)}^2}}}{{{{\sin }^2}\dfrac{{5x}}{2}}}.\dfrac{9}{{25}} = \dfrac{9}{{25}}$$
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {\cos 3x} \right)}}{{\ln \left( {\cos 5x} \right)}} = \boxed{\dfrac{9}{{25}}}$
--------------------------------------------------------------------------------------------
Đây là bài toán tổng quát cho bài 2:

Bài toán: Cho $a,b\in \mathbb{R}$. Tính $$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{ln\left ( cosax \right )}{ln\left ( cosbx \right )}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 02-01-2012 - 20:19

[tranthiennhan]

Khỏi giúp em bài 2, bài 2 em giải ra rồi. Thanks anh(chị) nhiều!

[tranthiennhan]

À, anh giải thích giúp em chỗ hàm bị chặn tí được k? Em gặp rất nhiều bài giải thế nhưng em không hiểu lắm

[Crystal]

À, anh giải thích giúp em chỗ hàm bị chặn tí được k? Em gặp rất nhiều bài giải thế nhưng em không hiểu lắm

Điều này đơn giản thôi bạn à. Ta luôn có $ - 1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1$ nên hàm $y = \cos \alpha $ bị chặn.

[tranthiennhan]

Điều này đơn giản thôi bạn à. Ta luôn có $ - 1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1$ nên hàm $y = \cos \alpha $ bị chặn.

Còn sin thì mình cũng nói vậy hả a? Mình nói bị chặn để loại trường hợp 0*vô cực đúng k a?

[Crystal]

Còn sin thì mình cũng nói vậy hả a? Mình nói bị chặn để loại trường hợp 0*vô cực đúng k a?

Đúng thế bạn à. Đánh giá này dựa vào tính chất của giới han hàm số: Tích của một hàm bị chặn với một vô cùng bé $(lim=0)$ là một vô cùng bé.

[tranthiennhan]

Đây là thắc mắc cuối cùng của vcb, xin cảm phiền nhờ anh giải thích chút!

Xin anh giải thích dùm em vì sao những trường hợp đó lại bị kể là sai? vì em thấy nó thay thế đúng vcb mà!

Cảm ơn anh rất nhiều!

File gửi kèm

•  VCB đúng sai.ppt   404K   471 Số lần tải

[Crystal]

Đây là thắc mắc cuối cùng của vcb, xin cảm phiền nhờ anh giải thích chút!

Xin anh giải thích dùm em vì sao những trường hợp đó lại bị kể là sai? vì em thấy nó thay thế đúng vcb mà!

Cảm ơn anh rất nhiều!

Mình xin giải đáp thế này:

Trong biểu thức có tổng (hiệu) của các hạng tử có thể thay VCB của nó thì không phải lúc nào cũng thay thế được. Chỉ có tích hoặc thương thì ta mới dám thay mà không sợ sai.

Ví dụ câu 1: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x - \sin x}}{{{x^3}}}$. Trong biểu thức lấy giới hạn có chứa hiệu của $\tan x - \sin x$ nên không thể thay VCB.

Câu 5: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}}$. Trong biểu thức là thương nên có thể thay VBC của ${\sin ^3}x \sim {x^3},x \to 0$

[tranthiennhan]

Trong biểu thức có tổng (hiệu) của các hạng tử có thể thay VCB của nó thì không phải lúc nào cũng thay thế được. Chỉ có tích hoặc thương thì ta mới dám thay mà không sợ sai.

Ví dụ câu 1: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x - \sin x}}{{{x^3}}}$. Trong biểu thức lấy giới hạn có chứa hiệu của $\tan x - \sin x$ nên không thể thay VCB.

Vậy có cách nào mình biết khi nào có thể thay vcb trong hiệu được k anh? Vì sao chúng ta lại k thể thay thể được tổng(hiệu) trong một số trường hợp!

Nếu mà có tổng hiệu, mà mình thay đổi cả 2 cái luôn bằng vcb thì được phải k a? tại e thấy câu 4 nó thay thế hết thì lại đúng, còn câu 1,2 thay lẻ tẻ từng cái thì sai!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranthiennhan: 02-01-2012 - 20:58