Chủ đề này có 3 trả lời

[Crystal]

Bài toán: Chứng minh rằng: $$\int\limits_{\dfrac{1}{e}}^{tgx} {\dfrac{t}{{1 + {t^2}}}dt + \int\limits_{\dfrac{1}{e}}^{\cot gx} {\dfrac{1}{{t\left( {1 + {t^2}} \right)}}dt} } \equiv 1$$

[dark templar]

Bài toán: Chứng minh rằng: $$\int\limits_{\dfrac{1}{e}}^{tgx} {\dfrac{t}{{1 + {t^2}}}dt + \int\limits_{\dfrac{1}{e}}^{\cot gx} {\dfrac{1}{{t\left( {1 + {t^2}} \right)}}dt} } \equiv 1$$

Em nghĩ đề bài phải là $\frac{1}{2}$ chứ không phải 1
Xét :
$$I=\int\limits_{\frac{1}{e}}^{\tan{x}}{\frac{tdt}{1+t^2}}$$
$$J=\int\limits_{\frac{1}{e}}^{\cot{x}}{\frac{dt}{t(1+t^2)}}$$
Đổi biến:$u=\frac{1}{t} \Rightarrow dt=\frac{-du}{u^2}$
$t=\cot{x} \rightarrow u=\tan{x}$
$t=\frac{1}{e} \rightarrow u=e$
Suy ra:
$$J=\int_{\tan{x}}^{e}\frac{udu}{u^2+1}=\int_{\tan{x}}^{e}\frac{tdt}{t^2+1}$$
Vậy:
$$I+J=\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{2tdt}{t^2+1}}=\ln{|t+1|}\Big|_{\frac{1}{e}}^{e}=1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 29-01-2012 - 20:01

[Crystal]

Em nghĩ đề bài phải là $\frac{1}{2}$ chứ không phải 1

Là 1 nhé em.

[dark templar]

Là 1 nhé em.

Em vừa mới kiểm tra kết quả xong.Đúng là 1 thật .Em sẽ sửa lại bài post