Chủ đề này có 1 trả lời

[Crystal]

Bài toán: Cho $f\left( x \right) = t\sin x + \left( {1 - t} \right)\cos x\,\,\left( {0 \leqslant t \leqslant 1} \right)$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $$P(t)=\left ( \int_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}e^{x}f(x)dx \right )\left ( \int_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}e^{-x}f(x)dx \right )$$

[dark templar]

Bài toán: Cho $f\left( x \right) = t\sin x + \left( {1 - t} \right)\cos x\,\,\left( {0 \leqslant t \leqslant 1} \right)$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $$P(t)=\left ( \int_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}e^{x}f(x)dx \right )\left ( \int_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}e^{-x}f(x)dx \right )$$

Giờ mới thấy mình lẩm cẩm .
Ta xét:
$$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{x}f(x)dx};J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-x}f(x)dx}$$
Đầu tiên,ta sẽ tính $I$ theo $t$.Ta có:
$$I=t\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{x}\sin{x}dx}+(1-t)\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{x}\cos{x}dx}$$
Nhận thấy rằng,theo công thức Tích phân từng phần:
$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{x}\cos{x}dx}=e^{x}\sin{x}\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{x}\sin{x}dx}(1)$$
$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{x}\sin{x}dx}=e^{x}\cos{x}\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{x}\cos{x}dx}(2)$$
Như vậy,từ (1) và (2),ta có:
$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{x}\sin{x}dx}=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}-1}{2};\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{x}\cos{x}dx}=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}+1}{2}$$
Mặt khác,sử dụng tính chất sau:
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$$
Ta có:
$$\frac{e^{\frac{\pi}{2}}-1}{2}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{x}\sin{x}dx}=e^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-x}\cos{x}dx} \Rightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-x}\cos{x}dx}=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}-1}{2e^{\frac{\pi}{2}}}$$
$$\frac{e^{\frac{\pi}{2}}+1}{2}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{x}\cos{x}dx}=e^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-x}\sin{x}dx} \Rightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-x}\sin{x}dx}=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}+1}{2e^{\frac{\pi}{2}}}$$
Suy ra:
$$I=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}+1-2t}{2}$$
Tiếp theo,ta tính $J$ theo $t$.Ta có:
$$J=t\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-x}\sin{x}dx}+(1-t)\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-x}\cos{x}dx}=\frac{2t+e^{\frac{\pi}{2}}-1}{2e^{\frac{\pi}{2}}}$$
Vậy:
$$P(t)=I.J=\frac{(e^{\frac{\pi}{2}}+1-2t)(2t+e^{\frac{\pi}{2}}-1)}{4e^{\frac{\pi}{2}}}$$
Theo BĐT AM-GM,ta có:
$$P(t) \le \frac{\left(\frac{e^{\frac{\pi}{2}}+1-2t+e^{\frac{\pi}{2}}+2t-1}{2} \right)^2}{4e^{\frac{\pi}{2}}}=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{4}$$
$$\underset{t \in [0;1]}{\max P(t)}=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{4} \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$$
Còn về cái GTNN thì ta khai triển,khảo sát hàm
$$P(t)=\frac{1}{4e^{\frac{\pi}{2}}}(e^{\pi}-1-4t^2+4t)(0 \le t \le 1)$$
$$P'(t)=\frac{-8t+4}{4e^{\frac{\pi}{2}}};P'(t)=0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$$
Do BBT có dạng:$+;0;-$ nên:
$$P(t) \ge \min \{P(0);P(1) \}=\frac{e^{\pi}-1}{4e^{\frac{\pi}{2}}}$$
$$\underset{t \in [0;1]}{\min P(t)}=\frac{e^{\pi}-1}{4e^{\frac{\pi}{2}}} \Leftrightarrow t \in \{0;1 \}$$

P/s:@anh Thành:Bài này không khó nhưng hay,có điều làm phê quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 23-01-2012 - 18:28