Chủ đề này có 1 trả lời

[Crystal]

Bài toán: Tính tích phân suy rộng $$I=\int_{-\infty }^{+\infty }\dfrac{xcosx}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}dx$$

[sieumau88]

Bài toán: Tính tích phân suy rộng $$I=\int_{-\infty }^{+\infty }\dfrac{xcosx}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}dx$$

 

Ta có

$I=\int_{-\infty }^{+\infty }\dfrac{xcosx}{\left( x^2+1 \right) . \left(x^2+2\right)}dx = Re \left[ \int_{-\infty }^{+\infty }\dfrac{x . e^{ix}}{\left( x^2+1 \right) . \left(x^2+2\right)}dx \right]$

 

 

Xét_ $A= \int_{-\infty }^{+\infty }\dfrac{z . e^{iz}}{\left( z^2+1 \right) . \left(z^2+2\right)}dx $

 

Đặt_ $f(z)=\dfrac{z}{\left( z^2+1 \right) . \left(z^2+2\right)}$

 

$f(z)$ ko giải tích tại những điểm mà

$\left( z^2+1 \right) . \left(z^2+2\right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z=i \in \left \{ z \mid  Imz>0 \right \} \\ z = -i \\ z = i\sqrt{2} \in \left \{ z \mid  Imz>0 \right \} \\ z = -i\sqrt{2} \end{array} \right.$

 

Vì_ $f(z)=\dfrac{z}{\left( z^2+1 \right) . \left(z^2+2\right)} = \dfrac{z}{\left( z+i \right) . \left( z-i \right).\left( z+i\sqrt{2}\right).\left( z-i\sqrt{2}\right)}$

 

Nên_ $z=i$ _và_ $z= i\sqrt{2}$ _là cực điểm cấp 1 .

 

Ta có :

$Res\left [ f(z).e^{iz} , i \right ]= \left.\begin{matrix}
\dfrac{z . e^{iz}}{\left ( z^2+1 \right )'.\left ( z^2+2 \right )}
\end{matrix}\right|_{z=i}=$ ...v...v....

 

và

$Res\left [ f(z).e^{iz} , i\sqrt{2}\right ]= \left.\begin{matrix}
\dfrac{z . e^{iz}}{\left ( z^2+2 \right )'.\left ( z^2+1 \right )}
\end{matrix}\right|_{z=i\sqrt{2}}=$ ...v...v....

 

Vậy__ $A=2 \pi i . \left( Res\left [ f(z).e^{iz} , i \right ] + Res\left [ f(z).e^{iz} , i\sqrt{2}\right ] \right)$ = ....v.....v.....

 

Ra kết quả tích phân của $A$ --> lấy phần thực --> thì đó là đáp số of tích phân $I$ --> do_ $I=Re(A)$