Chủ đề này có 5 trả lời

[Crystal]

Bài toán: Tính tổng chuỗi sau $$\sum_{n=0}^{+\infty }\left ( -\dfrac{1}{4\alpha } \right )^{n}\dfrac{ (2n)!}{n!},\; \alpha >0$$

[Mrnhan]

Bài toán: Tính tổng chuỗi sau $$\sum_{n=0}^{+\infty }\left ( -\dfrac{1}{4\alpha } \right )^{n}\dfrac{ (2n)!}{n!},\; \alpha >0$$

 

Có một số bạn nói đề này sai anh nà. Bạn đó làm như sau:

 

Bởi vì $\frac{(2n)!}{n!}=(n+1)(n+2)\cdots (2n)>n^n$ nên $\left | \left ( -\dfrac{1}{4\alpha } \right )^{n}\dfrac{ (2n)!}{n!} \right |>\left ( \frac{n}{4\alpha} \right )^n$

 

Vậy chuỗi số phân kỳ

[hxthanh]

Bài toán: Tính tổng chuỗi sau $$\sum_{n=0}^{+\infty }\left ( -\dfrac{1}{4\alpha } \right )^{n}\dfrac{ (2n)!}{n!},\; \alpha >0$$

 

 

Có một số bạn nói đề này sai anh nà. Bạn đó làm như sau:

 

Bởi vì $\frac{(2n)!}{n!}=(n+1)(n+2)\cdots (2n)>n^n$ nên $\left | \left ( -\dfrac{1}{4\alpha } \right )^{n}\dfrac{ (2n)!}{n!} \right |>\left ( \frac{n}{4\alpha} \right )^n$

 

Vậy chuỗi số phân kỳ

Đúng là đề bài sai thật!

 

Chính xác thì phải là $\sum_{n=0}^\infty \left ( -\dfrac{1}{4\alpha } \right )^{n}\dfrac{ (2n)!}{n!n!},\; \alpha >0$

[hxthanh]

Nếu đề bài mà là $\quad\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\dfrac{-1}{4\alpha}\right)^n \dfrac{(2n)!}{(n!)^2};\quad (\alpha>0)\quad$ thì...

 

$\left(\dfrac{-1}{4\alpha}\right)^n \dfrac{(2n)!}{(n!)^2}=\dfrac{(-1)^n}{4^n}\cdot\dfrac{1}{\alpha^n}\cdot\dfrac{2^n.n!(2n-1)!!}{n!n!}=\dfrac{(-1)^n}{n!}\cdot\dfrac{1}{\alpha^n}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}\cdots\dfrac{2n-1}{2}$

$\displaystyle =\dfrac{1}{n!}\cdot\dfrac{1}{\alpha^n}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}-1\right)\cdots\left(-\dfrac{1}{2}-n+1\right)={-\frac{1}{2} \choose n}\cdot\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)^n$

 

Do đó: $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\dfrac{-1}{4\alpha}\right)^n \dfrac{(2n)!}{(n!)^2}=\sum_{n=0}^\infty{-\frac{1}{2} \choose n}\cdot\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)^n=\left(1+\dfrac{1}{\alpha}\right)^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{\alpha}{\alpha+1}}$

[Mrnhan]

 

Tính: $$\sum_{n=0}^\infty \left ( -\dfrac{1}{4\alpha } \right )^{n}\dfrac{ (2n)!}{n!n!},\; \alpha >0$$

 

Theo bài làm của một bạn trên MS.

 

Hướng giải:

 

Đặt   $C_n=\left ( \frac{1}{4}\right )^n\frac{(2n)!}{n!n!}$

 

Xét chuỗi     $f(t)=\sum_{n=0}^{\infty} C_n\left ( -t \right )^n,\,\, f(0)=1$

 

Bây giờ ta cần tìm mối quan hệ giữ các $C_n ,\, C_{n-1}$

 

Xét $$\frac{C_n}{C_{n-1}}=\frac{2n-1}{2n}=1-\frac{1}{2n}\Rightarrow C_{n-1}=2n\left [ C_{n-1}-C_n \right ]$$

 

$$\Rightarrow f(t)=f(0)+\sum_{n=0}^{\infty} C_{n+1}\left ( -t \right )^{n+1}\Rightarrow f'(t)=-\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)C_{n+1}(-t) ^n$$

 

$$\Rightarrow -tf(t)=\sum_{n=0}^{\infty} C_n\left ( -t \right )^{n+1} \Rightarrow -f(t)-tf'(t)=-\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)C_n\left ( -t \right )^n$$

 

Thay vào chuỗi, ta có:

 

$$f(t)=\sum_{n=0}^{\infty} 2(n+1)\left [ C_n-C_{n+1} \right ](-t)^n=2\left [ f(t)+tf'(t)+f'(t) \right ]$$

 

$$\Rightarrow \frac{f'(t)}{f(t)}=-\frac{1}{2(1+t)}\Rightarrow f(t)=\left ( 1+t \right )^{-\frac{1}{2}}$$

 

 

 

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Có một số bạn nói đề này sai anh nà. Bạn đó làm như sau:

 

Bởi vì $\frac{(2n)!}{n!}=(n+1)(n+2)\cdots (2n)>n^n$ nên $\left | \left ( -\dfrac{1}{4\alpha } \right )^{n}\dfrac{ (2n)!}{n!} \right |>\left ( \frac{n}{4\alpha} \right )^n$

 

Vậy chuỗi số phân kỳ

Em không có ý kiến gì về bài giải nha. Em thắc mắc là chuỗi môđun phân kỳ thì đâu có nói được chuỗi ban đầu phân kỳ hay hội tụ? Ví dụ chuỗi điều hòa đan dấu. Môđun nó là chuỗi điều hòa nên phân kỳ, còn chuỗi đó thì hội tụ.