Đề chọn đội tuyển 30/4 chuyên LHP TPHCM
#1
Đã gửi 12-01-2012 - 21:54
TOÁN 10-VÒNG 1
Thời gian: 120 phút
Bài 1: Giải phương trình $(x\in \mathbb{R}):
\frac{8x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2}=5-\sqrt{2}$
Bài 2: Cho $f(x)=ax^2+2bx+1$ là đa thức hệ số thực thỏa $|f(1)|\le 1$ và $|f(-1)|\le 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $ F=a^2+b^2$
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho tích các chữ số của nó(trong hệ cơ số 10) bằng $x^2-10x-22$
Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm $H$. Đường thẳng (d) bất kì qua $H$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại P,Q. Đường thẳng $(\Delta)$ qua H và vuông góc với PQ cắt $BC$ tại M. Đường thẳng qua B và song song với QP cắt $AH$ tại K. Chứng minh rằng: $MK\parallel AC$
Bài 5: Cho $m,n$ à các số nguyên dương. Tìm số n nhỏ nhất sao cho tồn tại m để hình chữ nhật $(3m+2)$ X $(4m+3)$ phủ được bằng(tất cả các hình sau):
$n $hình vuông 1 X 1
n-1 hình vuông 2 X 2
............................
1 hình vuông n x n
Với n tìm được, hãy chỉ ra một cách phủ.
Nguồn: Mathscope
=========
Đề này mình làm được 0 câu
- NguyThang khtn, Zaraki, HÀ QUỐC ĐẠT và 3 người khác yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#2
Đã gửi 12-01-2012 - 23:15
http://www.mediafire...ekj8jzr2c0i1391
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-01-2012 - 23:19
- NguyThang khtn, Ispectorgadget, MIM và 3 người khác yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 13-01-2012 - 20:01
Xin chém thử câu này.Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho tích các chữ số của nó(trong hệ cơ số 10) bằng $x^2-10x-22$
Lời giải. Giả sử tồn tại số nguyên dương $x$ thỏa mãn đề bài. Vì tích các chữ số của $x$ là một số nguyên dương không âm nên ta có:
\begin{equation} x^2-10x-22 \ge 0 \iff \left[ \begin{matrix} x \le 5- \sqrt{47} & \\ x \ge 5+ \sqrt{47}. & & \end{matrix}\right. \text{ } (1) \end{equation}
Mặt khác, do $x \ge 0$ nên từ $(1)$ ta có $x \ge 5+ \sqrt{47}=11,...$. Do $x$ nguyên dương nên suy ra $$x \ge 12. \text{ } (2)$$
Gỉa sử $x= \overline{a_na_{n-1}...a_1a_0}, \ 0 \le a_1 \le 9, \ \forall i=\overline{0,n}, \ a_n \ne 0$. Khi đó
$$x=a_0+10a_1+...+10^{n-1}a_{n-1}+10^na_n \ \text{ } (3)$$
Theo giả thiết thì:
$$x^2-10x-22=a_0a_1...a_n. \ \text{ } (4)$$
Vì $0 \le a_i \le 9$ nên
$$a_0a_1...a_n \le 9^na_n. \ \text{ } (5)$$
Do $a_n \ne 0$ nên $$9^na_n<a_0+10a_1+...+10^na_n. \ \text{ } (6)$$
Từ $(3),(4),(5),(6)$ suy ra
$$\begin{align} x^2-10x-22<x & \Rightarrow x^2-11x-22<0 \\ & \Rightarrow \frac{11- \sqrt{209}}{2}<x< \frac{11+ \sqrt{209}}{2}. \end{align}$$
Kết hợp với $x<0$, ta có $0<x< \frac{11+ \sqrt{209}}{2}=12,...$. Do $x$ nguyên nên điều đó có nghĩa là $$x \le 12 \ \text{ } (7)$$
Từ $(2)$ và $(7)$ suy ra $x=12$.
$\boxed{ \text{Kết luận}}$. Đáp án của bài toán là $\textbf{x=12}$. $\blacksquare$
- NguyThang khtn, perfectstrong, Didier và 2 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#4
Đã gửi 14-01-2012 - 13:10
Bài 2: Cho $f(x)=ax^2+2bx+1$ là đa thức hệ số thực thỏa $|f(1)|\le 1$ và $|f(-1)|\le 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $ F=a^2+b^2$
Lời giải. Đặt $A=f(1)=a+2b+1, B=f(-1)=a-2b+1$. Từ giả thiết suy ra $|A| \le 1, |B| \le 1 \Rightarrow -1 \le A,B \le 1$
Ta tính được $a,b$ theo $A,B$ là: $a=\dfrac{A+B-2}{2}, b=\dfrac{A-B}{2}$
Từ đây, suy ra $$a^2+b^2=\dfrac{A^2-2A+1+B^2-2B+1}{2}$$
Do $A,B \in [-1;1]$ nên ta suy ra được $A^2-2A+1 \le 1-2.(-1)+1=4$ và $B^2-2b+1 \le 1-2.(-1)+1=4.$
Vậy $a^2+b^2=\dfrac{A^2-2A+1+B^2-2B+1}{2} \le \dfrac{4+4}{2}=4$
Vậy giá trị lớn nhất của $F=4.$ Đẳng thức xảy ra khi $a=-2,b=0. \blacksquare$
- perfectstrong, Didier, HÀ QUỐC ĐẠT và 1 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#5
Đã gửi 16-01-2012 - 22:38
Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm $H$. Đường thẳng (d) bất kì qua $H$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại P,Q. Đường thẳng $(\Delta)$ qua H và vuông góc với PQ cắt $BC$ tại M. Đường thẳng qua B và song song với QP cắt $AH$ tại K. Chứng minh rằng: $MK\parallel AC$
Để mình bài 4
Xét trường hợp AP>AQ
Trường hợp kia cũng tương tự ... !
hinh.bmp 266.35K 129 Số lần tải
$\triangle BHM$ có $K$ trực tâm
$=>\widehat{HBK}=\widehat{HMK}$
và $\widehat{KBM}=\widehat{MHK}$ (cạnh t/ư vuông góc)
Cộng vế theo vế:
$\widehat{HBM}=\widehat{FKM}$
mà $H$ là trực tâm $\triangle ABC$ nên $\widehat{HBM}=\widehat{HAC}$
Vậy : $\widehat{HAC}=\widehat{FKM}$
=> ok
.....................
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kelangthang: 17-01-2012 - 08:17
- Zaraki và chardhdmovies thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh