Chủ đề này có 3 trả lời

[Takitori Chishikato]

Cho $ a, b, c > 0$. CMR:
$\sqrt{\dfrac{a+b}{c}} + \sqrt{\dfrac{b+c}{a}} + \sqrt{\dfrac{a+c}{b}} \geq 2 ( \sqrt{\dfrac{c}{a+b}} + \sqrt{\dfrac{a}{b+c}} + \sqrt{\dfrac{b}{a+c}}) $

[phuc_90]

Bình phương 2 vế thì BĐT được viết như sau

$\sum \dfrac{a+b}{c}+2\sum \sqrt{\dfrac{(a+b)(a+c)}{cb}} \geq 4\sum \dfrac{c}{a+b} + 8\sum \sqrt{\dfrac{cb}{(a+b)(a+c)}}$

Ta có $4\sum \dfrac{c}{a+b} \leq \sum \left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\right) =\sum \left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\right)= \sum \dfrac{a+b}{c}$

Ta lại có $8\sum \sqrt{\dfrac{cb}{(a+b)(a+c)}} \leq 4\sum \left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}\right) = 4\sum \left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+b}\right) = 12$

và 2$\sum \sqrt{\dfrac{a+b)(a+c)}{cb}} \geq 6\sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}} \geq 6.\sqrt[3]{8} =12$

suy ra $2\sum \sqrt{\dfrac{(a+b)(a+c)}{cb}} \geq 8\sum \sqrt{\dfrac{cb}{(a+b)(a+c)}}$

Vậy BĐT đã được chứng minh.

[sherry Ai]

áp dụng BDT Cô si $\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2(x+y)}$ với $x\geq 0, y\geq 0$ ta có:
$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{2(a+b)}}{\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{2(b+c)}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{2(c+a)}}{\sqrt{b}})$$\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{a}{b}})$ = $=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{a}{b}})+\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{b}{a}})+\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{c}{b}})$ = $\sqrt{\frac{a}{2}}(\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{b}})+\sqrt{\frac{b}{2}}(\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}})+\sqrt{\frac{c}{2}}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}})$
Áp dụng BDT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ với $x>0, y>o$ ta có:
$\sqrt{\frac{a}{2}}(\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{b}})+\sqrt{\frac{b}{2}}(\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}})+\sqrt{\frac{c}{2}}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}})$ $\geq \sqrt{\frac{a}{2}}.\frac{4}{\sqrt{c}+\sqrt{b}}+\sqrt{\frac{b}{2}}.\frac{4}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}+\sqrt{\frac{c}{2}}.\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ = $\frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{c}+\sqrt{b}}+\frac{2\sqrt{2b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}+\frac{2\sqrt{2c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
Áp dụng BDT $\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2(x+y)}$ ta có:
$\frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{c}+\sqrt{b}}+\frac{2\sqrt{2b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}+\frac{2\sqrt{2c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ $\geq \frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{2(b+c)}}+\frac{2\sqrt{2b}}{\sqrt{2(a+c)}}+\frac{2\sqrt{2c}}{\sqrt{2(a+b)}}$ = $2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})$ ( đpcm)

[KietLW9]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $(\sqrt{\frac{a+b}{c}}-\frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{a+b}})+(\sqrt{\frac{b+c}{a}}-\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}})+(\sqrt{\frac{c+a}{b}}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{c+a}})\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}}\geqslant 0$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì $b+c-2a\leqslant c+a-2b\leqslant a+b-2c$ và $\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều $b+c-2a\leqslant c+a-2b\leqslant a+b-2c$ và $\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$, ta được: $3(\frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}})\geqslant (b+c-2c+c+a-2b+a+b-2c)(\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}+ \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}+ \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}})=0$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 30-04-2021 - 20:13