Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyennga123]

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Lấy E, F thuộc BC và CD sao cho góc EAF = 45⁰. Tim GTLN của diện tích tam giác AEF.
Giúp tớ với tớ dang can gap

[Cao Xuân Huy]

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Lấy E, F thuộc BC và CD sao cho góc EAF = 45⁰. Tim GTLN của diện tích tam giác AEF.

Ở đây mình hơi nhác vẽ hình.

Lấy điểm G trên tia đối tia DC sao cho GD=BE. Ta chứng minh được răng $\triangle AGF= \triangle AEF \Rightarrow AH=AD$.

Suy ra $S_{DEF}$ lớn nhất khi EF lớn nhất.

Ta chứng minh được $DF=HF;BE=HE$ suy ra $2.EF\le DF+BE+FC+CE=AB+AD \Rightarrow EF\le a$

Bài này không những có max mà còn có min nữa.

Áp dụng bài toán quen ta có chu vi tam giác $CEF$ là $2a$.

Ta có: $\sqrt {2.E{F^2}} = \sqrt {2(C{E^2} + C{F^2})} \ge CE + CF \Rightarrow EF(\sqrt 2 + 1) \ge 2a \Rightarrow EF \ge 2(\sqrt 2 - 1).a$

[hoclamtoan]

Từ A kẻ $AH\perp EF$ tại H và gọi P, Q lần lượt là giao điểm của DB với AE, AF.
Có : $\widehat{PDF}=\widehat{PAF}=45^{o}\Rightarrow$ APFD nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{APF}=90^{o};\widehat{DFA}=\widehat{APD}$ (1)
TT : $\Rightarrow \widehat{AQE}=90^{o}\Rightarrow$ FQPE nội tiếp $\Rightarrow \widehat{EFA}=\widehat{APD}$ (2)
Từ (1)(2) $\Rightarrow \widehat{EFA}=\widehat{DFA} \Rightarrow \Delta ADF=\Delta AHF$
TT : $\Rightarrow \Delta AHE=\Delta ABE$
$\Rightarrow S_{AEF}=\frac{1}{2}(S_{ABCD}-S_{CEF})=\frac{1}{2}(a^{2}-S_{CEF})\leq \frac{a^{2}}{2}$
Dấu "=" xãy ra $\Leftrightarrow E\equiv B;F\equiv C$ hoặc $E\equiv C;F\equiv D$ thì max $S_{AEF}=\frac{a^{2}}{2}$