Chủ đề này có 1 trả lời

[conan1shini]

cho dãy số $u_{n}$ với $u_{1}= 1$ và $u_{n+1}= \frac{\sqrt{u_{n}^{2}+1}-1}{u_{n}}$ tìm CTTQ của $u_{n}$

[Crystal]

cho dãy số $u_{n}$ với $u_{1}= 1$ và $u_{n+1}= \frac{\sqrt{u_{n}^{2}+1}-1}{u_{n}}$ tìm CTTQ của $u_{n}$

Ta có: $${u_1} = 1 = tg\frac{\pi }{4}$$

Đặt ${u_n} = tg{x_n}$, khi đó sử dụng:
$$\frac{{\sqrt {t{g^2}x + 1} - 1}}{{tgx}} = \frac{{\frac{1}{{\cos x}} - 1}}{{tgx}} = \frac{{1 - \cos x}}{{\sin x}} = \frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}} = tg\frac{x}{2}$$
Bằng quy nạp, ta chứng minh được: $${u_n} = tg\frac{\pi }{{{2^{n + 1}}}},\forall n \ge 1$$