Chủ đề này có 2 trả lời

[danglequan97]

Cho x,y,z thoả mãn
$x^{2}+xy+y^{2}=3$

$y^{2}+yz+z^{2}=16$
Chứng minh:
xy + yz + zx $\leq$ 8

[Crystal]

Cho x,y,z thoả mãn
$x^{2}+xy+y^{2}=3$

$y^{2}+yz+z^{2}=16$
Chứng minh:
xy + yz + zx $\leq$ 8

Bài toán trên được phát biểu dưới dạng tìm GTLN:

Điều kiện được viết lại dưới dạng:

$$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3}\left( {y + \dfrac{x}{2}} \right)^2 + \dfrac{{x^2 }}{4} = 1 \\ \dfrac{3}{{64}}z^2 + \dfrac{1}{{16}}\left( {y + \dfrac{z}{2}} \right)^2 = 1 \\ \end{array} \right.$$

Cộng từng vế hai đẳng thức trên được:

$$2 = \dfrac{1}{3}\left( {y + \dfrac{x}{2}} \right)^2 + \dfrac{{x^2 }}{4} + \dfrac{3}{{64}}z^2 + \dfrac{1}{{16}}\left( {y + \dfrac{z}{2}} \right)^2 = M\,\,\,(1)$$

Sử dụng BDT $\forall a,b \in R:a^2 + b^2 \ge 2ab$, ta có:

$$M \ge 2\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\left( {y + \dfrac{x}{2}} \right)z + 2\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{4}\left( {y + \dfrac{z}{2}} \right)x = \dfrac{1}{4}\left( {xy + yz + zx} \right)\,\,\,(2)$$

Từ (1) và (2) suy ra

$$2 \ge \dfrac{1}{4}\left( {xy + yz + zx} \right) \Rightarrow P=(xy + yz + zx )\le 8$$

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi $x = \dfrac{7}{{\sqrt {31} }},\,\,y = \dfrac{4}{{\sqrt {31} }},\,\,z = \dfrac{{20}}{{\sqrt {31} }}$

Vậy $\max P = 8$.

[Ispectorgadget]

Cách 2:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $$\begin {aligned}\left ( xy+yz+zx \right )^2&=\left [ x\left ( y+\frac{z}{2} \right )+z\left ( y+\frac{z}{2} \right ) \right ]^2\\&\le \left [ x^2+\frac{4}{3}\left ( y+\frac{x}{2} \right )^2 \right ]\left [ \left ( y+\frac{z}{2} \right )^2+\frac{3}{4}z^2 \right ]\\&=\frac{4}{3}( x^2+xy+y^2 )( y^2+yz+z^2 )=64 .\end {aligned}$$ Từ đó ta dễ dàng suy ra ra được $$xy+yz+zx\le 8$$ với đẳng thức xảy ra khi và chỉ $$x=\frac{7}{\sqrt{31}},\, y=\frac{4}{\sqrt{31}}, \, z = \frac{20}{\sqrt{31}}.$$ Chứng minh hoàn tất. $\Box$



Cách 3:

Bài này có thể hiểu ý nghĩa hình học thế này: Lấy một điểm O bất kì trong mặt phẳng, ta dựng ba tia Ox, ,Oy,, Oz sao cho Ox, ,Oy, Oz lần lượt hợp với nhau ba góc mỗi góc $120^{\circ}$. Trên Ox lấy điểm A sao cho OA=x, trên OB lấy điểm B sao cho OB=y và trên Oz lấy điểm C sao cho OC=z. Khi đó theo định lý hàm số cos ta có: $AB = \sqrt {x^2 + xy + y^2 } = \sqrt 3 ,\quad BC = \sqrt {y^2 + yz + z^2 } = 4 . $

Lúc này thì: $xy + yz + zx = \frac{4}{{\sqrt 3 }}( {S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COA} }) = \frac{4}{{\sqrt 3 }}S_{ABC} \le \frac{4}{{\sqrt 3 }}\cdot \frac{1}{2}\cdot BA\cdot BC = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt 3 \cdot 4 = 8. $

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC vuông tại B từ đó chọn được x, y, z thích hợp.

Cách 4:

Để ý rằng $$48=( x^{2}+xy+ y^{2})( y^{2}+yz+ z^{2})=\left[ \left(y+\frac{x}{2}\right) ^{2}+\left(\frac{x\sqrt{3} }{2}\right) ^{2}\right]\left[\left(\frac{z\sqrt{3} }{2}\right) ^{2}+ \left(y+\frac{z}{2}\right) ^{2}\right].$$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: $$48 \geq \left(\frac{yz\sqrt{3} }{2}+\frac{xz\sqrt{3} }{4}+\frac{xy\sqrt{3} }{2}+\frac{xz\sqrt{3} }{4}\right)^2= \left[\frac{(xy+yz+zx)\sqrt{3} }{2}\right] ^{2}.$$ Từ đó suy ra $xy+yz+zx \leq 8.$ $\blacksquare$


Nguồn: onluyentoan.vn